《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

7. [2023·南充]已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2m-1)x-3m^{2}+m=0$.
(1)求证：无论$m$为何值，方程总有实数根；
(2)若$x_{1},x_{2}$是方程的两个实数根，且$\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}=-\frac {5}{2}$，求$m$的值.1或$\frac {2}{5}$

答案： $(1)$ 证明方程总有实数根
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-(2m - 1)x-3m^{2}+m = 0$中，$a = 1$，$b=-(2m - 1)$，$c=-3m^{2}+m$。
则$\Delta =[-(2m - 1)]^{2}-4×1×(-3m^{2}+m)$
$=(2m - 1)^{2}+12m^{2}-4m$
$=4m^{2}-4m + 1+12m^{2}-4m$
$=16m^{2}-8m + 1$
$=(4m - 1)^{2}$。
因为$(4m - 1)^{2}\geq0$，即$\Delta\geq0$。
所以无论$m$为何值，方程总有实数根。
$(2)$ 求$m$的值
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，若$x_1$，$x_2$是其两根，则$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}-(2m - 1)x-3m^{2}+m = 0$中，$x_{1}+x_{2}=2m - 1$，$x_{1}x_{2}=-3m^{2}+m$。
已知$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=-\frac{5}{2}$，将其通分可得：
$\frac{x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}{x_{1}x_{2}}=-\frac{5}{2}$。
根据完全平方公式$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$，则$\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=-\frac{5}{2}$。
把$x_{1}+x_{2}=2m - 1$，$x_{1}x_{2}=-3m^{2}+m$代入上式得：
$\frac{(2m - 1)^{2}-2(-3m^{2}+m)}{-3m^{2}+m}=-\frac{5}{2}$。
设$y=-3m^{2}+m$，则$(2m - 1)^{2}-2(-3m^{2}+m)=4m^{2}-4m + 1 + 6m^{2}-2m=10m^{2}-6m + 1$。
原方程化为$\frac{10m^{2}-6m + 1}{y}=-\frac{5}{2}$，即$2(10m^{2}-6m + 1)=-5y$。
把$y=-3m^{2}+m$代回得：
$2(10m^{2}-6m + 1)=-5(-3m^{2}+m)$
$20m^{2}-12m + 2 = 15m^{2}-5m$
$20m^{2}-15m^{2}-12m + 5m+2 = 0$
$5m^{2}-7m + 2 = 0$。
对于一元二次方程$5m^{2}-7m + 2 = 0$，其中$a = 5$，$b=-7$，$c = 2$，根据求根公式$m=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，则：
$m=\frac{7\pm\sqrt{(-7)^{2}-4×5×2}}{2×5}=\frac{7\pm\sqrt{49 - 40}}{10}=\frac{7\pm3}{10}$。
解得$m_{1}=1$，$m_{2}=\frac{2}{5}$。
综上，$(1)$ 证明见上述过程；$(2)$ $m$的值为$1$或$\frac{2}{5}$。

8. (创新意识)[2024·铁岭月考]若关于$x$的方程的若干个解中，存在两个不相等的解，且这两个解互为相反数，则称这两个解为这个方程的对称解，这个方程称为对称解方程. 例如，$x=2$和$x=-2$是方程$x^{2}-4=0$的对称解，则$x^{2}-4=0$为对称解方程.
(1)下列方程中，是对称解方程的有____.（填序号）
①$x^{3}-4x=0$；②$2x^{2}+x-1=0$；
③$|\frac {4}{x}|=1$.
(2)已知关于$x$的方程$|2x+b|=1$恰好是对称解方程，若函数$y=|2x+b|-1$的图象与$x$轴交于$A$，$B$两点（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$，求$\triangle ABC$的面积.
(3)已知$x_{1},x_{2}$为一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$（$a,b,c$为常数）的对称解，当$a+2c=0$时，试求$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$的值.
(1)①③
(2)$\frac{1}{2}$
(3)1

答案： $(1)$判断哪些方程是对称解方程
- 对于方程①$x^{3}-4x = 0$，因式分解得$x(x^{2}-4)=0$，即$x(x - 2)(x + 2)=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=2$，$x_{3}=-2$，其中$x = 2$和$x=-2$是对称解，所以方程①是对称解方程。
- 对于方程②$2x^{2}+x - 1 = 0$，因式分解得$(2x - 1)(x + 1)=0$，解得$x_{1}=\frac{1}{2}$，$x_{2}=-1$，这两个解不互为相反数，所以方程②不是对称解方程。
- 对于方程③$\vert\frac{4}{x}\vert = 1$，则$\frac{4}{x}=\pm1$，当$\frac{4}{x}=1$时，$x = 4$；当$\frac{4}{x}=-1$时，$x=-4$，$x = 4$和$x=-4$是对称解，所以方程③是对称解方程。
故答案为①③。
$(2)$求$\triangle ABC$的面积
解：已知$\vert2x + b\vert = 1$，则$2x + b=\pm1$。
当$2x + b = 1$时，$x=\frac{1 - b}{2}$；当$2x + b=-1$时，$x=\frac{-1 - b}{2}$。
因为方程$\vert2x + b\vert = 1$是对称解方程，所以$\frac{1 - b}{2}+\frac{-1 - b}{2}=0$，解得$b = 0$。
则函数$y=\vert2x\vert - 1$。
令$y = 0$，即$\vert2x\vert - 1 = 0$，$\vert2x\vert = 1$，$2x=\pm1$，解得$x=\pm\frac{1}{2}$，所以$A(-\frac{1}{2},0)$，$B(\frac{1}{2},0)$。
令$x = 0$，则$y=-1$，所以$C(0,-1)$。
$AB=\vert\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})\vert = 1$，$OC = 1$（$O$为坐标原点）。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得${S}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB× OC=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$。
$(3)$求$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$的值
解：因为$x_{1}$，$x_{2}$为一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$的对称解，所以$x_{1}+x_{2}=0$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
根据完全平方公式$(x_{1}+x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$，可得$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$。
把$x_{1}+x_{2}=0$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$代入上式得$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-2×\frac{c}{a}$。
又因为$a + 2c = 0$，即$c=-\frac{a}{2}$。
把$c=-\frac{a}{2}$代入$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-2×\frac{c}{a}$得：
$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-2×\frac{-\frac{a}{2}}{a}=1$。
综上，答案依次为：$(1)$①③；$(2)$$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$；$(3)$$\boldsymbol{1}$。