《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

3. 如图，在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，且CF=AE，连接BF，AF。
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AF平分∠BAD，且AE=2，DE=4，求四边形BFDE的面积。

(1)略 (2)8√5

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AB// CD$。
又因为$CF = AE$，所以$DF = BE$。
因为$AB// CD$，即$DF// BE$，所以四边形$BFDE$是平行四边形。
因为$DE\perp AB$，所以$\angle DEB = 90^{\circ}$。
根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$BFDE$是矩形。
2. （2）解：
因为$AB// CD$，所以$\angle BAF=\angle AFD$。
又因为$AF$平分$\angle BAD$，所以$\angle BAF=\angle DAF$。
则$\angle DAF=\angle AFD$，所以$AD = DF$。
在$Rt\triangle ADE$中，根据勾股定理$AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}$（其中$AE = 2$，$DE = 4$）。
所以$AD=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{4 + 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
因为四边形$BFDE$是矩形，$DF = AD = 2\sqrt{5}$，$DE = 4$。
根据矩形面积公式$S = DF× DE$，所以$S_{BFDE}=2\sqrt{5}×4 = 8\sqrt{5}$。
综上，（1）得证；（2）四边形$BFDE$的面积为$8\sqrt{5}$。

4. [2022·十堰]如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点。
(1)求证：BE=DF。
(2)设$\frac{AC}{BD}=k$，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由。


(1)略
(2)当$k=$2时,四边形 DEBF 是矩形.理由略.

答案： $(1)$ 证明$BE = DF$
解（证明）：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$OB = OD$，$OA = OC$。
又因为$E$，$F$分别是$OA$，$OC$的中点，所以$OE=\frac{1}{2}OA$，$OF = \frac{1}{2}OC$，则$OE = OF$。
在$\triangle BEO$和$\triangle DFO$中：
$\begin{cases}OB = OD\\\angle BOE=\angle DOF\\OE = OF\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle BEO\cong\triangle DFO$。
所以$BE = DF$。
$(2)$ 求$k$的值使得四边形$DEBF$是矩形
解（证明）：
当$k = 2$时，四边形$DEBF$是矩形。
理由如下：
因为$OE = OF$，$OB = OD$，所以四边形$DEBF$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
当$k=\frac{AC}{BD}=2$时，即$AC = 2BD$，因为$OA = OC$，$OB = OD$，所以$OA = OC = BD$。
又因为$E$是$OA$中点，所以$OE=\frac{1}{2}OA$，$OB = OD$，则$BD = 2OD$，$OA=BD$，所以$OD = OE$。
那么$EF = OE + OF=2OE$，$BD = 2OD$，又$OE = OD$，所以$EF = BD$。
根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得平行四边形$DEBF$是矩形。
综上，$(1)$ 已证$BE = DF$；$(2)$ 当$k = 2$时，四边形$DEBF$是矩形。

5. (推理能力、动态几何)如图，AB=8cm，BC=16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是1cm/s。连接PQ，AQ，CP。设点P，Q运动的时间为t s。
(1)当t为8时，四边形ABQP是矩形？
(2)当t为6时，四边形AQCP是菱形？
(3)求出(2)中菱形AQCP的周长和面积。
周长为40cm，面积为80cm²

答案： 1. （1）
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$，$AD// BC$。
若四边形$ABQP$是矩形，则$AP = BQ$。
已知$AP=(16 - t)cm$，$BQ = tcm$，所以$16 - t=t$。
移项可得$2t = 16$，解得$t = 8$。
所以当$t = 8s$时，四边形$ABQP$是矩形。
2. （2）
因为四边形$AQCP$是菱形，所以$AQ = CQ$。
已知$BQ=tcm$，则$CQ=(16 - t)cm$，$AB = 8cm$。
在$Rt\triangle ABQ$中，根据勾股定理$AQ^{2}=AB^{2}+BQ^{2}$，即$(16 - t)^{2}=8^{2}+t^{2}$。
展开式子得$256-32t + t^{2}=64 + t^{2}$。
移项：$-32t=64 - 256$。
即$-32t=-192$，解得$t = 6$。
所以当$t = 6s$时，四边形$AQCP$是菱形。
3. （3）
当$t = 6$时：
求周长**：
因为四边形$AQCP$是菱形，$AQ = CQ=16 - 6 = 10cm$。
菱形周长$C = 4AQ$，所以$C = 4×10=40cm$。
求面积**：
菱形面积$S = CQ\cdot AB$（以$CQ$为底，$AB$为高）。
把$CQ = 10cm$，$AB = 8cm$代入，得$S=10×8 = 80cm^{2}$。
综上，（1）$t = 8$；（2）$t = 6$；（3）周长为$40cm$，面积为$80cm^{2}$。