《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 对于四边形ABCD，给出下列6组条件：
①∠A=90°，∠B=∠C=∠D；②∠A=∠B=90°，∠C=∠D；③∠A=∠B=∠C=∠D；④∠A=∠B=∠C=90°；⑤AC=BD；⑥AB//CD，AD//BC。
其中能得到四边形ABCD是矩形的条件有（D）
A. 1组
B. 2组
C. 3组
D. 4组

答案： D

2. [2023·沈阳和平区开学]如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AE⊥BD于点E。若OE:OD=1:2，OD=2cm，则AE的长为$\sqrt {3}cm$。

答案： $\sqrt {3}cm$

3. 如图，在□ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10。
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)求BD的长。

(1)略 (2)BD=10

答案： 1. （1）证明：
在$\triangle ABC$中，$AB = 6$，$BC = 8$，$AC = 10$。
根据勾股定理的逆定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为最长边），这里$AB^{2}+BC^{2}=6^{2}+8^{2}=36 + 64=100$，$AC^{2}=10^{2}=100$。
所以$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，则$\angle ABC = 90^{\circ}$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形（$□ABCD$表示平行四边形），且有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$ABCD$是矩形。
2. （2）解：
因为四边形$ABCD$是矩形，根据矩形的性质：矩形的对角线相等。
已知$AC = 10$，$BD$与$AC$是矩形$ABCD$的对角线，所以$BD=AC$。
则$BD = 10$。
综上，（1）已证明四边形$ABCD$是矩形；（2）$BD$的长为$10$。

1. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM//AB交AD于点M。若OM=2，BC=8，则OB的长为（D）

A. 5
B. $\sqrt{5}$
C. 4$\sqrt{5}$
D. 2$\sqrt{5}$

答案： D

2. [2022·云南]如图，在□ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线相交于点F，连接AF，∠BDF=90°。
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积。

(1)略
(2)四边形ABCF的面积为18

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$。
则$\angle BAE=\angle FDE$，又因为$E$为$AD$的中点，所以$AE = DE$。
在$\triangle ABE$和$\triangle DFE$中，$\begin{cases}\angle BAE=\angle FDE\\AE = DE\\\angle AEB=\angle DEF\end{cases}$（对顶角相等）。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理可得$\triangle ABE\cong\triangle DFE$。
所以$AB = DF$。
又因为$AB// DF$，所以四边形$ABDF$是平行四边形。
已知$\angle BDF = 90^{\circ}$，根据矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形），所以四边形$ABDF$是矩形。
2. （2）
因为四边形$ABDF$是矩形，所以$AB = DF = 3$，$AF = BD$，$\angle AFD = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ADF$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = DF$，$b = AF$，$c = AD$），已知$AD = 5$，$DF = 3$，则$AF=\sqrt{AD^{2}-DF^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD = BC = 5$，$AB = CD = 3$。
四边形$ABCF$的面积$S = S_{\triangle ADF}+S_{梯形ABCF}$，又因为$S_{四边形ABCF}=S_{\triangle ADF}+S_{梯形ABCF}=S_{\triangle ADF}+S_{\triangle ABC}+S_{\triangle BCD}$，而$S_{\triangle ADF}=\frac{1}{2}× DF× AF=\frac{1}{2}×3×4 = 6$，$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BCD}$，且$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}S_{平行四边形ABCD}$。
平行四边形$ABCD$与矩形$ABDF$等底$(AB)$等高$(AF)$，$S_{平行四边形ABCD}=AB× AF=3×4 = 12$。
所以$S_{四边形ABCF}=S_{平行四边形ABCD}+S_{\triangle ADF}$。
把$S_{平行四边形ABCD}=12$，$S_{\triangle ADF}=6$代入可得$S_{四边形ABCF}=12 + 6=18$。
综上，（1）得证；（2）四边形$ABCF$的面积为$18$。