《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 线段的比的概念
线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD = m：n，或写成$\frac{AB}{CD}=\frac{m}{n}$。其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项。如果把$\frac{m}{n}$表示成比值k，那么$\frac{AB}{CD}=k$，或AB = k·CD。两条线段的比实际上就是两个数的比。

答案： 它们长度的比

2. 比例线段的概念
比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。
注 意：我们说a，b，c，d四条线段是成比例线段，它对应的关系式只能是$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$或a：b = c：d，它是有一定顺序的。

答案： $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ 成比例线段

3. 比例的性质
基本性质：如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么$ad = bc$。如果ad = bc(a，b，c，d均不为0)，那么$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$。

答案： $ad = bc$ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

例1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 8 cm，AC = 6 cm，CD是斜边AB上的高，求CD：AB的值。$\frac{12}{25}$

答案： 1. 首先，根据勾股定理求$AB$的长度：
在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a = AC = 6cm$，$b = BC = 8cm$，$c = AB$），可得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$。
则$AB=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10cm$。
2. 然后，根据三角形面积公式求$CD$的长度：
三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），对于$Rt\triangle ABC$，$S=\frac{1}{2}AC\cdot BC$，同时$S=\frac{1}{2}AB\cdot CD$。
因为$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，所以$CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}$。
把$AC = 6cm$，$BC = 8cm$，$AB = 10cm$代入，得$CD=\frac{6×8}{10}=\frac{48}{10}=\frac{24}{5}cm$。
3. 最后，求$CD:AB$的值：
$CD:AB=\frac{24}{5}:10=\frac{24}{5}×\frac{1}{10}=\frac{12}{25}$。
所以$CD:AB$的值为$\frac{12}{25}$。

例2 已知线段x，y。
(1)当$\frac{x + 3y}{x - y}=\frac{3}{2}$时，求$\frac{x}{y}$的值为9；
(2)当$\frac{x + 3y}{x - y}=\frac{x}{y}$时，求$\frac{x}{y}$的值为-1或3。

答案： $(1)$求$\frac{x}{y}$的值
解：
已知$\frac{x + 3y}{x - y}=\frac{3}{2}$，
根据比例的性质“两内项之积等于两外项之积”，可得$2(x + 3y)=3(x - y)$。
去括号：$2x+6y = 3x - 3y$。
移项：$3x-2x=6y + 3y$。
合并同类项：$x = 9y$。
两边同时除以$y$（$y\neq0$），得到$\frac{x}{y}=9$。
$(2)$求$\frac{x}{y}$的值
解：
设$\frac{x}{y}=k$（$k\neq1$，因为当$k = 1$时，$x - y=0$，原式$\frac{x + 3y}{x - y}$无意义），则$x = ky$。
将$x = ky$代入$\frac{x + 3y}{x - y}=\frac{x}{y}$中，得到$\frac{ky+3y}{ky - y}=k$。
因为$y\neq0$（若$y = 0$，$\frac{x}{y}$无意义），分子分母同时除以$y$，则$\frac{k + 3}{k - 1}=k$。
去分母：$k + 3=k(k - 1)$。
展开括号：$k + 3=k^{2}-k$。
移项化为一元二次方程的一般形式：$k^{2}-k - k-3 = 0$，即$k^{2}-2k - 3 = 0$。
因式分解：$(k - 3)(k + 1)=0$。
则$k - 3 = 0$或$k + 1 = 0$。
解得$k = 3$或$k=-1$（$k=-1$时，$\frac{x}{y}=-1$，$x=-y$，$x - y=-y - y=-2y\neq0$）。
所以$\frac{x}{y}=3$或$\frac{x}{y}=-1$。
综上，答案依次为$(1)9$；$(2)3$或$-1$。