《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 如图，已知菱形$ABCD$的周长为$4\sqrt{5}$，两条对角线$AC$，$BD$的和为$6$，则菱形$ABCD$的面积为（C）

A. $2$
B. $3$
C. $4$
D. $2\sqrt{5}$

答案： C

2. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB// DC$，$AB = AD$，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$AC$平分$\angle BAD$，过点$C$作$CE\perp AB$交$AB$的延长线于点$E$。

（1）求证：四边形$ABCD$是菱形；
（2）若$AB = 6$，$BD = 8$，求$CE$的长。$\frac {8\sqrt {5}}{3}$

答案： 1. （1）证明：
因为$AB// DC$，所以$\angle OAB=\angle DCA$。
又因为$AC$平分$\angle BAD$，所以$\angle OAB = \angle DAC$。
则$\angle DCA=\angle DAC$，所以$AD = DC$。
已知$AB = AD$，所以$AB = DC$。
又$AB// DC$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
又因为$AB = AD$，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形$ABCD$是菱形。
2. （2）解：
因为四边形$ABCD$是菱形，$BD = 8$，所以$AC\perp BD$，$OB=\frac{1}{2}BD = 4$，$OA=\frac{1}{2}AC$。
在$Rt\triangle AOB$中，$AB = 6$，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$c = AB$，$a = OB$，$b = OA$），可得$OA=\sqrt{AB^{2}-OB^{2}}=\sqrt{6^{2}-4^{2}}=\sqrt{36 - 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
所以$AC = 2OA = 4\sqrt{5}$。
菱形的面积$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD$，也可以表示为$S = AB\cdot CE$。
由$\frac{1}{2}AC\cdot BD=AB\cdot CE$，把$AB = 6$，$AC = 4\sqrt{5}$，$BD = 8$代入可得：
$\frac{1}{2}×4\sqrt{5}×8=6\cdot CE$。
即$16\sqrt{5}=6CE$。
解得$CE=\frac{8\sqrt{5}}{3}$。
综上，（1）四边形$ABCD$是菱形得证；（2）$CE$的长为$\frac{8\sqrt{5}}{3}$。

3. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB// CD$，$AB = AD$，$CB = CD$，$E$是$CD$上一点，连接$BE$交$AC$于点$F$，连接$DF$。
（1）求证：四边形$ABCD$是菱形；略
（2）试探究$BE$满足什么条件时，$\angle EFD=\angle BCD$，并说明理由。当$BE⊥CD$时,$∠EFD=∠BCD$.理由略

答案： 1. （1）证明：
因为$AB// CD$，所以$\angle BAC=\angle DCA$。
在$\triangle ABC$和$\triangle ADC$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AD\\CB = CD\\AC = AC\end{array}\right.$。
根据$SSS$（边 - 边 - 边）全等判定定理，可得$\triangle ABC\cong\triangle ADC$。
所以$\angle BCA=\angle DCA$，又因为$\angle BAC=\angle DCA$，所以$\angle BAC=\angle BCA$。
则$AB = BC$（等角对等边）。
已知$AB = AD$，$CB = CD$，所以$AB = BC = CD = AD$。
根据菱形的定义：四条边都相等的四边形是菱形，所以四边形$ABCD$是菱形。
2. （2）当$BE\perp CD$时，$\angle EFD=\angle BCD$。
理由如下：
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$BC = CD$，$\angle BCF=\angle DCF$。
在$\triangle BCF$和$\triangle DCF$中，$\left\{\begin{array}{l}BC = CD\\\angle BCF=\angle DCF\\CF = CF\end{array}\right.$。
根据$SAS$（边 - 角 - 边）全等判定定理，可得$\triangle BCF\cong\triangle DCF$。
所以$\angle CBF=\angle CDF$。
因为$BE\perp CD$，所以$\angle BEC=\angle DEF = 90^{\circ}$。
在$\triangle BEC$中，$\angle BCD+\angle CBF=90^{\circ}$；在$\triangle DEF$中，$\angle EFD+\angle CDF = 90^{\circ}$。
又因为$\angle CBF=\angle CDF$，根据等角的余角相等，所以$\angle EFD=\angle BCD$。
综上，（1）已证四边形$ABCD$是菱形；（2）当$BE\perp CD$时，$\angle EFD=\angle BCD$。