《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

性 质: (1) 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比;
(2) 相似三角形的周长比等于相似比, 面积比等于相似比的平方.
注 意: 运用相似三角形的上述性质时, 一定要注意“对应”二字的作用.

答案： 对应高 角平分线 中线 相似比 平方

例 1 若两个相似三角形的相似比是 $ 2:3 $,则它们的对应高线的比是2:3, 对应中线的比是2:3, 对应角平分线的比是2:3, 周长比是2:3, 面积比是4:9.

答案： 2:3 2:3 2:3 2:3 4:9

例 2 [2022 秋·沈阳期末] 如图, 在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEC $ 中, $ \angle A=\angle D $, $ \angle BCE=\angle ACD $.
(1) 求证: $ \triangle ABC \backsim \triangle DEC $; (略)
(2) 若 $ S_{\triangle ABC}: S_{\triangle DEC}=4:9 $, $ BC=6 $, 求 $ EC $ 的长. (9)

答案：
(1)略
(2)CE=9

例 3 如图, 一块材料的形状是锐角三角形 $ ABC $, 边 $ BC=120 \mathrm{~mm} $, 高 $ AD=80 \mathrm{~mm} $,把它加工成正方形零件, 使正方形的一边在 $ BC $ 上, 其余两个顶点分别在 $ AB $, $ AC $ 上, 这个正方形零件的边长是48mm.

答案： 解：设正方形零件的边长为$x\mathrm{mm}$。
因为$EF// BC$，所以$\triangle AEF\sim\triangle ABC$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得$\dfrac{AK}{AD}=\dfrac{EF}{BC}$。
已知$AD = 80\mathrm{mm}$，$BC = 120\mathrm{mm}$，$AK=(80 - x)\mathrm{mm}$，$EF = x\mathrm{mm}$，则$\dfrac{80 - x}{80}=\dfrac{x}{120}$。
交叉相乘得：$120×(80 - x)=80x$
去括号得：$9600-120x = 80x$
移项得：$120x + 80x=9600$
合并同类项得：$200x = 9600$
解得：$x = 48$
所以这个正方形零件的边长是$48\mathrm{mm}$。

1. [2023·重庆 A 卷] 若两个相似三角形周长的比为 $ 1:4 $, 则这两个三角形对应边的比是 (B)
A. $ 1:2 $
B. $ 1:4 $
C. $ 1:8 $
D. $ 1:16 $

答案： B

2. 已知 $ \triangle FHB \backsim \triangle EAD $, 它们的周长分别为 30 和 15, 且 $ FH=6 $, 则 $ EA $ 的长为 (A)
A. 3
B. 2
C. 4
D. 5

答案： A

3. [2023·泰州] 两个相似图形的周长比为 $ 3:2 $, 则面积比为9:4.

答案： 9:4

4. 如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ DE // BC $, $ \frac{DE}{BC}=\frac{2}{3} $, $ \triangle ADE $ 的面积是 8, 则四边形 $ DECB $ 的面积为10.

答案： 10