《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

2. 如图，在矩形ABCD中，$AB=6cm,BC=12cm$，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C运动。设运动时间为x s。
(1)若$PQ=4\sqrt {2}cm$，求x的值；$\frac{2}{5}$或2
(2)若$\triangle DPQ$的面积为$31cm^{2}$，求x的值。1或5

答案： 1. （1）
首先，根据运动速度和时间表示出线段长度：
已知$AP = x cm$，$BQ = 2x cm$，则$PB=(6 - x)cm$。
在$Rt\triangle PBQ$中，根据勾股定理$PQ^{2}=PB^{2}+BQ^{2}$。
因为$PQ = 4\sqrt{2}cm$，所以$(4\sqrt{2})^{2}=(6 - x)^{2}+(2x)^{2}$。
展开式子得：$32=36-12x + x^{2}+4x^{2}$。
整理得：$5x^{2}-12x + 4 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a = 5,b=-12,c = 4)$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，这里$\Delta=b^{2}-4ac=(-12)^{2}-4×5×4=144 - 80 = 64$。
则$x=\frac{12\pm\sqrt{64}}{10}=\frac{12\pm8}{10}$。
解得$x_{1}=\frac{12 + 8}{10}=2$，$x_{2}=\frac{12-8}{10}=\frac{2}{5}$。
2. （2）
解：
先表示出$S_{\triangle ADP}=\frac{1}{2}AD\cdot AP=\frac{1}{2}×12× x = 6x$，$S_{\triangle BPQ}=\frac{1}{2}PB\cdot BQ=\frac{1}{2}(6 - x)\cdot2x=(6x - x^{2})$，$S_{\triangle DCQ}=\frac{1}{2}DC\cdot CQ=\frac{1}{2}×6×(12 - 2x)=3(12 - 2x)=36-6x$。
因为$S_{矩形ABCD}=AB\cdot BC=6×12 = 72$，且$S_{\triangle DPQ}=S_{矩形ABCD}-S_{\triangle ADP}-S_{\triangle BPQ}-S_{\triangle DCQ}$。
已知$S_{\triangle DPQ}=31$，所以$72-6x-(6x - x^{2})-(36 - 6x)=31$。
去括号得：$72-6x - 6x+x^{2}-36 + 6x = 31$。
整理得：$x^{2}-6x + 5 = 0$。
对于一元二次方程$x^{2}-6x + 5 = 0$，其中$a = 1$，$b=-6$，$c = 5$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×1×5=36 - 20 = 16$。
则$x=\frac{6\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{6\pm4}{2}$。
解得$x_{1}=\frac{6 + 4}{2}=5$，$x_{2}=\frac{6-4}{2}=1$。
综上，（1）$x$的值为$\frac{2}{5}$或$2$；（2）$x$的值为$1$或$5$。

1. 某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为$1.6m^{2}$，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m。
(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
(2)如果计划每天挖土$48m^{3}$，需要多少天才能把这条渠道挖完？

答案： $(1)$求渠道的上口宽与渠底宽
解：设渠深为$x$米。
已知上口宽比渠深多$2$米，则上口宽为$(x + 2)$米；渠底比渠深多$0.4$米，则渠底宽为$(x + 0.4)$米。
根据梯形面积公式$S=\frac{(a + b)h}{2}$（其中$S$为梯形面积，$a$为上底，$b$为下底，$h$为高），可得方程：
$\frac{(x + 2)+(x + 0.4)}{2}× x = 1.6$
化简方程：
$\begin{aligned}\frac{(2x + 2.4)}{2}× x&=1.6\\(2x + 2.4)x&=3.2\\2x^{2}+2.4x - 3.2&=0\\x^{2}+1.2x - 1.6&=0\\x^{2}+1.2x + 0.36&=1.6 + 0.36\\(x + 0.6)^{2}&=2.56\\x + 0.6&=\pm1.6\end{aligned}$
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=-2.2$（渠深不能为负，舍去）。
上口宽：$x + 2=1 + 2 = 3$（米）
渠底宽：$x + 0.4=1 + 0.4 = 1.4$（米）
$(2)$求挖完渠道需要的天数
解：先求渠道的挖土体积$V$，根据长方体体积公式$V = S× l$（其中$S$为底面积，$l$为长），已知$S = 1.6m^{2}$，$l = 750m$，则$V=1.6×750 = 1200m^{3}$。
已知每天挖土$48m^{3}$，则需要的天数$n=\frac{V}{48}=\frac{1200}{48}=25$（天）
综上，$(1)$渠道的上口宽是$\boldsymbol{3}$米，渠底宽是$\boldsymbol{1.4}$米；$(2)$需要$\boldsymbol{25}$天才能把这条渠道挖完。

2. 如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区。当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离$BC=500km$，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离$BA=300km$。如果这艘轮船不改变航向和速度，那么从接到警报开始，经过多长时间它会进入台风影响区？(结果精确到0.01h；参考数据：$\sqrt {51}\approx 7.141$)

(8.35)

答案： 解：设经过$t$小时轮船进入台风影响区。
在$Rt\triangle ABC$中，$BC = 500km$，$BA = 300km$，根据勾股定理可得$AC=\sqrt{BC^{2}-BA^{2}}=\sqrt{500^{2}-300^{2}} = 400km$。
$t$小时后，轮船行驶的距离$CD = 30t$，台风移动的距离$BE = 20t$，则$AE=(300 - 20t)km$，$AD=(400 - 30t)km$。
当轮船进入台风影响区时，$DE = 200km$，根据勾股定理$AE^{2}+AD^{2}=DE^{2}$，即$(300 - 20t)^{2}+(400 - 30t)^{2}=200^{2}$。
展开得：$90000-12000t + 400t^{2}[phone]t + 900t^{2}=40000$。
合并同类项：$1300t^{2}-36000t + 210000 = 0$，两边同时除以$100$得$13t^{2}-360t + 2100 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a = 13,b=-360,c = 2100)$，其求根公式为$t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
$\Delta=b^{2}-4ac=(-360)^{2}-4×13×2100=129600 - 109200 = 20400$。
$t=\frac{360\pm\sqrt{20400}}{2×13}=\frac{360\pm20\sqrt{51}}{26}=\frac{180\pm10\sqrt{51}}{13}$。
$t_{1}=\frac{180 + 10×7.141}{13}=\frac{180+71.41}{13}=\frac{251.41}{13}\approx19.34$，$t_{2}=\frac{180 - 10×7.141}{13}=\frac{180 - 71.41}{13}=\frac{108.59}{13}\approx8.35$。
因为我们求的是进入台风影响区的时间，所以取较小值$t\approx8.35h$。
综上，从接到警报开始，经过约$8.35h$它会进入台风影响区。