《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

菱形的面积
面积公式：(1)菱形的面积等于底乘底边上的高，即$S_{菱形}=ah$(其中$a$，$h$分别为菱形的底边及底边上的高)．
(2)菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即$S_{菱形}=$$\frac{1}{2}mn$(其中$m$，$n$表示菱形的两条对角线的长)．
拓 展：任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半．

答案： 底边上的高 底边上的高 乘积的一半 $\frac{1}{2}mn$

例1 如图，已知菱形$ABCD$的两条对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，且$AC=6$，$BD=8$，求菱形的周长为20和面积为24．

答案： 1. 首先求菱形的面积：
根据菱形面积公式$S = \frac{1}{2}AC\cdot BD$（菱形面积等于对角线乘积的一半）。
已知$AC = 6$，$BD = 8$，则$S=\frac{1}{2}×6×8 = 24$。
2. 然后求菱形的边长：
因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以$AO=\frac{1}{2}AC$，$BO=\frac{1}{2}BD$。
由$AC = 6$，可得$AO=\frac{1}{2}×6 = 3$；由$BD = 8$，可得$BO=\frac{1}{2}×8 = 4$。
在$Rt\triangle ABO$中，根据勾股定理$AB=\sqrt{AO^{2}+BO^{2}}$。
把$AO = 3$，$BO = 4$代入勾股定理公式$AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
3. 最后求菱形的周长：
因为菱形的四条边都相等，所以周长$C = 4AB$。
把$AB = 5$代入，得$C = 4×5=20$。
综上，菱形的周长是$20$，面积是$24$。

例2 [2022·凉山州]如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^{\circ }$，$D$是$BC$的中点，$E$是$AD$的中点，过点$A$作$AF// BC$交$CE$的延长线于点$F$．
(1)求证：四边形$ADBF$是菱形；
(2)若$AB=8$，四边形$ADBF$的面积为40，求$AC$的长．

(1)略
(2)AC的长为10。

答案： 1. （1）证明：
因为$AF// BC$，所以$\angle AFE=\angle DCE$。
又因为$E$是$AD$的中点，所以$AE = DE$。
在$\triangle AEF$和$\triangle DEC$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle AFE=\angle DCE\\\angle AEF=\angle DEC\\AE = DE\end{array}\right.$，根据$AAS$（角 - 角 - 边）定理可得$\triangle AEF\cong\triangle DEC$。
所以$AF = DC$。
因为$D$是$BC$的中点，所以$BD = DC$，则$AF = BD$。
又因为$AF// BD$，所以四边形$ADBF$是平行四边形。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$D$是$BC$的中点，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得$AD=\frac{1}{2}BC = BD$。
所以平行四边形$ADBF$是菱形。
2. （2）解：
因为四边形$ADBF$是菱形，所以$AD = BD$，$S_{菱形ADBF}= 2S_{\triangle ABD}$。
又因为$D$是$BC$的中点，所以$S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ABD}$，则$S_{\triangle ABC}=S_{菱形ADBF}=40$。
已知$AB = 8$，根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC$。
把$S_{\triangle ABC}=40$，$AB = 8$代入$S=\frac{1}{2}AB\cdot AC$中，即$40=\frac{1}{2}×8× AC$。
化简可得：$40 = 4AC$，解得$AC = 10$。
综上，（1）得证；（2）$AC$的长为$10$。

1. 如图，在菱形$ABCD$中，$DE\perp AB$于点$E$，菱形$ABCD$的面积为48，$DE=6$，则$AD$的长为（B）

A. 16
B. 8
C. 4
D. 2

答案： B