《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

4. [2024·沈阳铁西区期中]某企业计划给全体员工定制一批新的工装，该企业集团委托甲、乙两个厂家共同生产这批工装。根据调查统计，甲厂每小时能生产40套这种工装，乙厂每小时能生产50套这种工装。
(1)若甲、乙两个工厂生产的时间共12小时，且生产工装的总套数不少于530套，则乙厂至少生产这种工装多少小时？
(2)原计划甲、乙两个工厂每天均生产8小时，但现在为了满足该企业集团的需求，两个工厂每天均需要增加生产时间，且甲厂增加的时间比乙厂增加的时间多2小时，因为甲厂机器损耗及人员不足的原因，甲厂每增加1小时，该厂每小时的产量将减少2套，乙厂每小时的产量保持不变，这样两个工厂每天生产的工装套数将比原计划多164套，求甲厂实际每天生产工装增加的时间。

答案： $(1)$
设乙厂生产这种工装$x$小时，则甲厂生产$(12 - x)$小时。
根据生产工装的总套数不少于$530$套，可列不等式：
$50x + 40(12 - x)\geqslant530$
解这个不等式：
$\begin{aligned}50x + 40(12 - x)&\geqslant530\\50x + 480 - 40x&\geqslant530\\10x&\geqslant530 - 480\\10x&\geqslant50\\x&\geqslant5\end{aligned}$
所以乙厂至少生产这种工装$5$小时。
$(2)$
设甲厂实际每天生产工装增加的时间为$y$小时，则乙厂实际每天生产工装增加的时间为$(y - 2)$小时。
原计划甲、乙两个工厂每天生产的工装套数为：$40×8 + 50×8=(40 + 50)×8 = 720$（套）
现在甲厂每小时生产$(40 - 2y)$套，每天生产$(8 + y)$小时；乙厂每小时生产$50$套，每天生产$(8 + y - 2)=(6 + y)$小时。
现在两个工厂每天生产的工装套数为$(40 - 2y)(8 + y)+50(6 + y)$套。
根据现在两个工厂每天生产的工装套数将比原计划多$164$套，可列方程：
$(40 - 2y)(8 + y)+50(6 + y)=720 + 164$
展开括号：
$\begin{aligned}320+40y-16y-2y^{2}+300 + 50y&=884\\-2y^{2}+(40y-16y + 50y)+(320 + 300)&=884\\-2y^{2}+74y + 620&=884\\-2y^{2}+74y + 620-884&=0\\-2y^{2}+74y - 264&=0\\y^{2}-37y + 132&=0\end{aligned}$
对于一元二次方程$y^{2}-37y + 132 = 0$，其中$a = 1$，$b=-37$，$c = 132$，根据求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$可得：
$\begin{aligned}y&=\frac{37\pm\sqrt{(-37)^{2}-4×1×132}}{2×1}\\&=\frac{37\pm\sqrt{1369 - 528}}{2}\\&=\frac{37\pm\sqrt{841}}{2}\\&=\frac{37\pm29}{2}\end{aligned}$
即$y_{1}=\frac{37 + 29}{2}=\frac{66}{2}=33$，$y_{2}=\frac{37 - 29}{2}=\frac{8}{2}=4$。
当$y = 33$时，甲厂每小时生产$40-2×33=40 - 66=-26$（套），产量不能为负数，舍去$y = 33$。
所以$y = 4$，即甲厂实际每天生产工装增加的时间为$4$小时。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{5}$小时；$(2)$$\boldsymbol{4}$小时。

5. (模型观念)春节期间，九(1)班全班每两个同学都通过一次电话，互道祝福。如果该班共有48名同学，每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题。
用点$A_1$，$A_2$，$A_3$，$\cdots$，$A_{48}$分别表示第1名同学，第2名同学，第3名同学……第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：

(1)上述第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15。
(2)通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为$y=\frac {x(x-1)}{2}$；当$x = 48$时，对应的$y =$1128。
(3)若九(1)班全体女生相互之间共通话190次，则该班共有多少名女生？
该班共有 20 名女生.

答案：
(1)10 15
(2)$y=\frac {x(x-1)}{2}$ 1128
(3)该班共有 20 名女生.