《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

6. [2022·鄂州]如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且$∠CDF=∠BDC$,$∠DCF=∠ACD$.
(1)求证:$DF=CF$;
(2)若$∠CDF=60^{\circ}$,$DF=6$,求矩形ABCD的面积.$36\sqrt{3}$

答案： 1. （1）证明：
在$\triangle DFC$中，已知$\angle CDF=\angle BDC$，$\angle DCF = \angle ACD$。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OD = OC$（矩形的对角线相等且互相平分，即$AC = BD$，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB = OD=\frac{1}{2}BD$），则$\angle ODC=\angle OCD$。
又因为$\angle CDF=\angle BDC$，$\angle DCF=\angle ACD$，所以$\angle CDF=\angle DCF$。
根据等角对等边，在$\triangle DFC$中，可得$DF = CF$。
2. （2）解：
因为$\angle CDF = 60^{\circ}$，$DF = CF$，所以$\triangle DFC$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形）。
所以$DC=DF = 6$。
因为$\angle CDF=\angle BDC = 60^{\circ}$，$OD = OC$，所以$\triangle OCD$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形）。
则$OC=OD = CD = 6$，所以$BD=2OD = 12$。
在$Rt\triangle BCD$中，根据勾股定理$BC=\sqrt{BD^{2}-DC^{2}}$（勾股定理：在直角三角形中，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，这里$c = BD$，$a = DC$，$b = BC$）。
把$BD = 12$，$DC = 6$代入可得：$BC=\sqrt{12^{2}-6^{2}}=\sqrt{(12 + 6)(12 - 6)}=\sqrt{18×6}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$。
矩形$ABCD$的面积$S = DC× BC$。
把$DC = 6$，$BC = 6\sqrt{3}$代入得$S=6×6\sqrt{3}=36\sqrt{3}$。
综上，（1）已证$DF = CF$；（2）矩形$ABCD$的面积为$36\sqrt{3}$。

7. (推理能力)如图,在矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,交BA的延长线于点F,连接AC,DF.
(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;
(2)当CF平分$∠BCD$时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.

(1)略
(2)$BC=2CD$. 理由略.

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AB// CD$，则$\angle FAE=\angle CDE$。
又因为$E$是$AD$的中点，所以$AE = DE$。
且$\angle FEA=\angle CED$（对顶角相等）。
在$\triangle FAE$和$\triangle CDE$中：
$\begin{cases}\angle FAE=\angle CDE\\AE = DE\\\angle FEA=\angle CED\end{cases}$
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，可得$\triangle FAE\cong\triangle CDE$。
所以$FA = CD$。
又因为$FA// CD$（已证$AB// CD$）。
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，所以四边形$ACDF$是平行四边形。
2. （2）解：
当$CF$平分$\angle BCD$时，$\angle DCE = 45^{\circ}$。
因为$\angle CDE = 90^{\circ}$，在$Rt\triangle CDE$中，$\tan\angle DCE=\frac{DE}{CD}$。
由于$\angle DCE = 45^{\circ}$，所以$\tan45^{\circ}=1=\frac{DE}{CD}$，则$DE = CD$。
因为$E$是$AD$的中点，所以$AD = 2DE$。
又因为四边形$ABCD$是矩形，$AD = BC$。
所以$BC = 2CD$。
综上，（1）四边形$ACDF$是平行四边形得证；（2）$BC$与$CD$的数量关系为$BC = 2CD$。