《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

6. 如图，已知$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$，AD = 6.4 cm，DB = 4.8 cm，EC = 4.2 cm，求AC的长。

AC的长为9.8cm。

答案： 1. 首先，根据已知条件$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$：
已知$AD = 6.4\mathrm{cm}$，$DB = 4.8\mathrm{cm}$，$EC = 4.2\mathrm{cm}$，将其代入比例式$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$中，可得$\frac{6.4}{4.8}=\frac{AE}{4.2}$。
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，则$4.8AE=6.4×4.2$。
计算$6.4×4.2 = 26.88$，所以$4.8AE = 26.88$。
解得$AE=\frac{26.88}{4.8}=5.6\mathrm{cm}$。
2. 然后，求$AC$的长：
因为$AC=AE + EC$。
把$AE = 5.6\mathrm{cm}$，$EC = 4.2\mathrm{cm}$代入上式，可得$AC=5.6 + 4.2$。
所以$AC = 9.8\mathrm{cm}$。

7. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC。试判断线段AD，BE，AC，BC是否为成比例线段，并说明理由。
线段AD，BE，AC，BC是成比例线段。

答案： 解：因为$AD\perp BC$，$BE\perp AC$，
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），
对于$\triangle ABC$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD$，同时$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BE$，
所以$\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}AC\cdot BE$，
两边同时乘以$2$得$BC\cdot AD = AC\cdot BE$，
根据比例的基本性质$a:b = c:d$等价于$ad = bc$（$a,b,c,d$均不为$0$），
则$\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}$，
所以线段$AD$，$BE$，$AC$，$BC$是成比例线段。

8. 如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB = 3，AD = 6.5，BF = 2。
(1)求下列各线段的比：$\frac{CD}{BC}$=$\frac{6}{13}$，$\frac{EF}{CF}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{BF}{AB}$=$\frac{2}{3}$；
(2)指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段(写一组即可)。线段EF,CF,BF,AB为成比例线段,有$\frac{EF}{CF}=\frac{BF}{AB}$

答案：
(1)$\frac{CD}{BC}=\frac{6}{13},\frac{EF}{CF}=\frac{2}{3},\frac{BF}{AB}=\frac{2}{3}$.
(2)线段EF,CF,BF,AB为成比例线段,有$\frac{EF}{CF}=\frac{BF}{AB}$.

9. (应用意识)“An系列纸”的研究：纸张大小在国际间最常使用的是ISO所制定的标准，并将尺寸冠以编号，如A4，B5等。如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张大小都不同，形状相同；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸……An纸对裁后可以得到两张A(n + 1)纸。
(1)填空：A1纸面积是A2纸面积的2倍，A2纸周长是A4纸周长的______2倍；
(2)根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽(长大于宽)之比。

答案： 1. （1）
因为$A1$纸对裁后可以得到两张$A2$纸，所以$A1$纸面积是$A2$纸面积的$2$倍。
设$A2$纸的长为$a$，宽为$b$，则$A2$纸周长$C_{A2}=2(a + b)$。
$A3$纸的长为$b$，宽为$\frac{a}{2}$，$A4$纸的长为$\frac{a}{2}$，宽为$\frac{b}{2}$，$A4$纸周长$C_{A4}=2(\frac{a}{2}+\frac{b}{2})=a + b$。
所以$A2$纸周长是$A4$纸周长的$2$倍。
2. （2）
解：设$A(n)$纸的长为$x$，宽为$y$，则$A(n + 1)$纸的长为$y$，宽为$\frac{x}{2}$。
因为各矩形纸张形状相同，所以$\frac{x}{y}=\frac{y}{\frac{x}{2}}$。
由$\frac{x}{y}=\frac{y}{\frac{x}{2}}$可得$x×\frac{x}{2}=y× y$，即$\frac{x^{2}}{2}=y^{2}$。
因为$x\gt0,y\gt0$，所以$x^{2}=2y^{2}$，则$\frac{x}{y}=\sqrt{2}$。
综上，（1）答案依次为$2$；$2$；（2）该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为$\sqrt{2}:1$。