《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

教材母题 (教材 P93 习题 4.6 第 3 题)
如图，P 是△ABC 的边 AB 上的一点.
(1)如果∠ACP = ∠B，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？
(2)如果$\frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AB}$，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？如果$\frac{AC}{CP}=\frac{BC}{AC}$呢？

答案： 1. （1）
解：$\triangle ACP\sim\triangle ABC$。
理由：在$\triangle ACP$和$\triangle ABC$中，$\angle A=\angle A$（公共角），$\angle ACP = \angle B$（已知）。
根据两角分别相等的两个三角形相似（$AA$判定定理），所以$\triangle ACP\sim\triangle ABC$。
2. （2）
① 当$\frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AB}$时：
解：$\triangle ACP\sim\triangle ABC$。
理由：在$\triangle ACP$和$\triangle ABC$中，$\frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AB}$，$\angle A=\angle A$（公共角）。
根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（$SAS$判定定理），所以$\triangle ACP\sim\triangle ABC$。
② 当$\frac{AC}{CP}=\frac{BC}{AC}$时：
解：$\triangle ACP$与$\triangle ABC$不一定相似。
理由：虽然$\frac{AC}{CP}=\frac{BC}{AC}$，即$AC^{2}=CP\cdot BC$，但是这两组边的夹角$\angle ACP$与$\angle ACB$不一定相等，不满足三角形相似的判定定理（$SAS$：两边成比例且夹角相等），所以$\triangle ACP$与$\triangle ABC$不一定相似。

1. 如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，DE//BC. 若 AD = 4，DB = 2，则$\frac{DE}{BC}$的值为$\frac {2}{3}$.

答案： $\frac {2}{3}$

2. 在△ABC 中，AB = 6，AC = 5，点 D 在边 AB 上，且 AD = 2，点 E 在边 AC 上，当 AE = $\frac {12}{5}$或$\frac {5}{3}$时，以 A，D，E 为顶点的三角形与△ABC 相似.

答案： $\frac {12}{5}$或$\frac {5}{3}$

3. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD 是斜边 AB 上的高，AD = 9，BD = 4，则 CD =6，AC =$3\sqrt {13}$.

答案： 6 $3\sqrt {13}$

4. 如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，AG⊥BC 于点 G，AF⊥DE 于点 F，∠EAF = ∠GAC. 求证：△ADE∽△ABC.


$\because AG\perp BC$，$AF\perp DE$，
$\therefore\angle AFE = \angle AGC = 90^{\circ}$。
$\because\angle AED = 180^{\circ}-\angle AFE - \angle EAF$，$\angle ACB = 180^{\circ}-\angle AGC - \angle GAC$，且$\angle EAF=\angle GAC$，
$\therefore\angle AED=\angle ACB$。
又$\because\angle DAE=\angle BAC$，
$\therefore\triangle ADE\sim\triangle ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。

答案： 【解析】：
本题可先根据垂直关系得出$\angle AFE=\angle AGC = 90^{\circ}$，再结合已知$\angle EAF=\angle GAC$，推出$\angle AED=\angle ACB$，最后利用相似三角形的判定定理证明$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
**步骤一：求出$\angle AED=\angle ACB$。**
已知$AG\perp BC$，$AF\perp DE$，根据垂直的定义可知$\angle AFE = \angle AGC = 90^{\circ}$。
在$\triangle AEF$中，$\angle AED = 180^{\circ}-\angle AFE - \angle EAF$；在$\triangle AGC$中，$\angle ACB = 180^{\circ}-\angle AGC - \angle GAC$。
因为$\angle EAF=\angle GAC$，$\angle AFE = \angle AGC = 90^{\circ}$，所以$\angle AED=\angle ACB$。
**步骤二：证明$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。**
因为$\angle DAE=\angle BAC$（公共角），$\angle AED=\angle ACB$（已证）。
根据“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定定理，可得$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
【答案】：
$\because AG\perp BC$，$AF\perp DE$，
$\therefore\angle AFE = \angle AGC = 90^{\circ}$。
$\because\angle AED = 180^{\circ}-\angle AFE - \angle EAF$，$\angle ACB = 180^{\circ}-\angle AGC - \angle GAC$，且$\angle EAF=\angle GAC$，
$\therefore\angle AED=\angle ACB$。
又$\because\angle DAE=\angle BAC$，
$\therefore\triangle ADE\sim\triangle ABC$（两角分别相等的两个三角形相似）。