《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 在数学活动课上，老师和同学们一起验证教室的一个四边形门框是否为矩形. 下面是某学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是 (D)
A. 测量对角线是否相互平分
B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量一组对角是否都为直角
D. 测量其中的三个角是否都为直角

答案： 1. D

2. [2023·上海]在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$AB = CD$. 下列说法能使四边形$ABCD$为矩形的是 (C)
A. $AB// CD$
B. $AD = BC$
C. $\angle A=\angle B$
D. $\angle A=\angle D$

答案： 2. C

3. 如图，在$□ ABCD$中，$BE$平分$\angle ABC$，$CE$平分$\angle BCD$，$BF// CE$，$CF// BE$. 求证：四边形$BECF$是矩形.
证明：因为$BF// CE$，$CF// BE$，所以四边形$BECF$是平行四边形。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，则$\angle ABC+\angle BCD = 180^{\circ}$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，$CE$平分$\angle BCD$，所以$\angle EBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle ECB=\frac{1}{2}\angle BCD$。
所以$\angle EBC+\angle ECB=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle BCD)=90^{\circ}$，则$\angle BEC = 90^{\circ}$。
所以平行四边形$BECF$是矩形。

答案： 【解析】：
- 因为$BF// CE$，$CF// BE$，根据平行四边形的判定定理（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），所以四边形$BECF$是平行四边形。
- 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补），可得$\angle ABC+\angle BCD = 180^{\circ}$。
- 又因为$BE$平分$\angle ABC$，$CE$平分$\angle BCD$，所以$\angle EBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle ECB=\frac{1}{2}\angle BCD$。
- 则$\angle EBC+\angle ECB=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle BCD)=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$。
- 在$\triangle BEC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BEC=180^{\circ}-(\angle EBC + \angle ECB)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$。
- 因为有一个角是直角的平行四边形是矩形，四边形$BECF$是平行四边形且$\angle BEC = 90^{\circ}$，所以四边形$BECF$是矩形。
【答案】：
因为$BF// CE$，$CF// BE$，所以四边形$BECF$是平行四边形。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，则$\angle ABC+\angle BCD = 180^{\circ}$。
因为$BE$平分$\angle ABC$，$CE$平分$\angle BCD$，所以$\angle EBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle ECB=\frac{1}{2}\angle BCD$。
所以$\angle EBC+\angle ECB=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle BCD)=90^{\circ}$，则$\angle BEC = 90^{\circ}$。
所以平行四边形$BECF$是矩形。

1. [2022·泰州]如图，线段$DE$与$AF$分别为$\triangle ABC$的中位线与中线.
(1)求证：$AF$与$DE$互相平分.
(2)当线段$AF$与$BC$满足怎样的数量关系时，四边形$ADFE$为矩形？请说明理由.

(1)略
(2)当 $ AF = \frac{1}{2}BC $ 时，四边形 $ ADFE $ 为矩形. 理由略.

答案： 1.
(1)
证明：
因为线段$DE$是$\triangle ABC$的中位线，所以$D$是$AB$中点，$E$是$AC$中点。
又因为$AF$是$\triangle ABC$的中线，所以$F$是$BC$中点。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可得$DE// BC$，$DE = \frac{1}{2}BC$。
在$\triangle ABF$中，$D$是$AB$中点，$F$是$BC$中点，所以$DF// AC$（三角形中位线定理）。
同理，在$\triangle ACF$中，$E$是$AC$中点，$F$是$BC$中点，所以$EF// AB$。
所以四边形$ADFE$是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
因为平行四边形的对角线互相平分，所以$AF$与$DE$互相平分。
2.
(2)
当$AF=\frac{1}{2}BC$时，四边形$ADFE$为矩形。
理由：
已知$DE$是$\triangle ABC$的中位线，所以$DE=\frac{1}{2}BC$。
又因为$AF = \frac{1}{2}BC$，所以$DE = AF$。
由（1）知四边形$ADFE$是平行四边形，根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，所以当$AF=\frac{1}{2}BC$时，四边形$ADFE$为矩形。
综上，（1）得证；（2）当$AF = \frac{1}{2}BC$时，四边形$ADFE$为矩形。

2. [2022·遂宁]如图，在菱形$ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$是$AD$的中点，连接$OE$，过点$D$作$DF// AC$交$OE$的延长线于点$F$，连接$AF$.
(1)求证：$\triangle AOE\cong \triangle DFE$；略
(2)试判定四边形$AODF$的形状，并说明理由.四边形$ AODF $为矩形. 理由略

答案： 1. （1）证明：
因为$DF// AC$，所以$\angle OAE=\angle FDE$。
因为$E$是$AD$的中点，所以$AE = DE$。
又因为$\angle AEO=\angle DEF$（对顶角相等）。
在$\triangle AOE$和$\triangle DFE$中，$\begin{cases}\angle OAE=\angle FDE\\AE = DE\\\angle AEO=\angle DEF\end{cases}$。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，可得$\triangle AOE\cong\triangle DFE$。
2. （2）解：
四边形$AODF$是矩形。
理由如下：
由（1）知$\triangle AOE\cong\triangle DFE$，所以$AO = DF$。
又因为$DF// AC$，即$DF// AO$。
所以四边形$AODF$是平行四边形。
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AC\perp BD$，即$\angle AOD = 90^{\circ}$。
有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形$AODF$是矩形。
综上，（1）得证$\triangle AOE\cong\triangle DFE$；（2）四边形$AODF$是矩形。