《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

4. [2023秋·临川区校级期中]如图,$\frac {AE}{AD}=\frac {AB}{AE}$,且∠ABE=∠C. 求证:△ADE∽△ABC.

证明：因为$\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{AE}$，所以$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AE}$，又∠A=∠A，所以△ADE∽△AEB，则∠ADE=∠AEB。
因为∠ABE = ∠C，∠A=∠A，所以△AEB∽△ABC。
因为△ADE∽△AEB，△AEB∽△ABC，所以△ADE∽△ABC。

答案： 【解析】：
已知$\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{AE}$，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得$AE^{2}=AD× AB$，即$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AE}$。
又因为$\angle A=\angle A$（公共角），根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$\triangle ADE\sim\triangle AEB$。
因为$\triangle ADE\sim\triangle AEB$，所以$\angle ADE=\angle AEB$。
已知$\angle ABE = \angle C$，$\angle A=\angle A$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$\triangle AEB\sim\triangle ABC$。
由于$\triangle ADE\sim\triangle AEB$且$\triangle AEB\sim\triangle ABC$，根据相似三角形的传递性，所以$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。
【答案】：
因为$\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{AE}$，所以$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AE}$，又$\angle A=\angle A$，所以$\triangle ADE\sim\triangle AEB$，则$\angle ADE=\angle AEB$。
因为$\angle ABE = \angle C$，$\angle A=\angle A$，所以$\triangle AEB\sim\triangle ABC$。
因为$\triangle ADE\sim\triangle AEB$，$\triangle AEB\sim\triangle ABC$，所以$\triangle ADE\sim\triangle ABC$。

5. 如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE,BC的延长线相交于点F,且EF·DF=CF·BF.求证:△CAB∽△DAE.


证明：因为EF·DF=CF·BF，所以$\frac{EF}{BF}=\frac{CF}{DF}$，又$\angle F=\angle F$，所以$\triangle FEC\sim\triangle FBD$，则$\angle FCE=\angle FDB$，即$\angle ACB=\angle ADE$，又$\angle A=\angle A$，所以△CAB∽△DAE.

答案： 【解析】：
已知$EF\cdot DF = CF\cdot BF$，则$\frac{EF}{BF}=\frac{CF}{DF}$。
又因为$\angle F=\angle F$（公共角），根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可得$\triangle FEC\sim\triangle FBD$。
所以$\angle FCE=\angle FDB$，进而$\angle ACB=\angle ADE$。
又因为$\angle A=\angle A$（公共角），根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可得$\triangle CAB\sim\triangle DAE$。
【答案】：
因为$EF\cdot DF = CF\cdot BF$，所以$\frac{EF}{BF}=\frac{CF}{DF}$，又$\angle F=\angle F$，所以$\triangle FEC\sim\triangle FBD$，则$\angle FCE=\angle FDB$，即$\angle ACB=\angle ADE$，又$\angle A=\angle A$，所以$\triangle CAB\sim\triangle DAE$。

6. 如图,在矩形ABCD中,E是AD的中点,BE⊥AC交AC于点F.求证:△DEF∽△BED.

证明：因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle BAE = 90^{\circ}$，$AD = BC$，$AD// BC$。
因为$BE\perp AC$，所以$\angle AFE = 90^{\circ}$，又$\angle AEF=\angle BEA$，则△AFE∽△BAE，可得$\frac{AE}{EF}=\frac{BE}{AE}$。
因为E是AD中点，所以$AE = ED$，那么$\frac{ED}{EF}=\frac{BE}{ED}$。
又因为$\angle DEF=\angle BED$（公共角）。
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，所以△DEF∽△BED。

答案： 【解析】：
- 因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle BAE = 90^{\circ}$，$AD = BC$，$AD// BC$。
- 由于$BE\perp AC$，所以$\angle AFE = 90^{\circ}$，又$\angle AEF=\angle BEA$，则$\triangle AEF\sim\triangle BEA$，可得$\frac{AE}{EF}=\frac{BE}{AE}$。
- 因为$E$是$AD$中点，所以$AE = ED$，那么$\frac{ED}{EF}=\frac{BE}{ED}$。
- 又因为$\angle DEF=\angle BED$（公共角）。
- 根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，所以$\triangle DEF\sim\triangle BED$。
【答案】：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle BAE = 90^{\circ}$，$AD = BC$，$AD// BC$。
因为$BE\perp AC$，所以$\angle AFE = 90^{\circ}$，又$\angle AEF=\angle BEA$，则$\triangle AEF\sim\triangle BEA$，可得$\frac{AE}{EF}=\frac{BE}{AE}$。
因为$E$是$AD$中点，所以$AE = ED$，那么$\frac{ED}{EF}=\frac{BE}{ED}$。
又因为$\angle DEF=\angle BED$（公共角）。
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，所以$\triangle DEF\sim\triangle BED$。

7. (几何直观)[2023秋·驻马店期末]如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10cm,BC=16cm.点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动,同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动,它们的速度均为1cm/s.连接DE,设运动时间为t(单位:s),0＜t＜10,解答下列问题:
(1)当t为何值时,△BDE的面积为7.5cm²?
(2)在点D,E的运动中,是否存在时间t,使得△BDE与△ABC相似? 若存在,请求出对应的时间t;若不存在,请说明理由.
(1)当t为5时，△BDE的面积为7.5cm².
(2)存在. 理由略.当t为$\frac{50}{13}$ s或$\frac{80}{13}$ s时，△BDE与△ABC相似.

答案： 7.
(1)当 t 为 5 时，△BDE 的面积为 7.5 cm².
(2)存在. 理由略.当 t 为$\frac{50}{13}$ s 或$\frac{80}{13}$ s 时，△BDE 与△ABC 相似.