《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

2. 正方形的性质
性 质:(1)四条边都____.
(2)四个角都____,都是直角.
(3)对角线____,并且互相____,每一条对角线平分一组____.

答案： 相等 相等 相等 垂直平分 对角

例1 [2023·黄石]如图,在正方形ABCD中,点M,N分别在边AB,BC上,且BM=CN,AN与DM相交于点P.
(1)求证:△ABN≌△DAM;
(2)求∠APM的大小.90°

【点悟】正方形的性质可以从边、角、对角线等来认识:对边平行,四条边都相等;四个角都是直角;对角线互相垂直平分且相等;是轴对称图形,有四条对称轴;也是中心对称图形,有一个对称中心,即对角线的交点.

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = DA$，$\angle ABN=\angle DAM = 90^{\circ}$。
已知$BM = CN$，又因为$AB = BC$（正方形的四条边相等），所以$AB - BM=BC - CN$，即$AM = BN$。
在$\triangle ABN$和$\triangle DAM$中，$\begin{cases}BN = AM\\\angle ABN=\angle DAM\\AB = DA\end{cases}$。
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ABN\cong\triangle DAM$。
2. （2）解：
由（1）知$\triangle ABN\cong\triangle DAM$，所以$\angle BAN=\angle ADM$。
因为$\angle ADM+\angle AMD = 90^{\circ}$（在$Rt\triangle DAM$中，$\angle DAM = 90^{\circ}$，两锐角互余）。
所以$\angle BAN+\angle AMD = 90^{\circ}$。
在$\triangle APM$中，$\angle APM = 180^{\circ}-(\angle BAN+\angle AMD)$（三角形内角和为$180^{\circ}$，即$\angle APM=180^{\circ}-90^{\circ}$。
所以$\angle APM = 90^{\circ}$。
综上，（1）得证；（2）$\angle APM$的大小为$90^{\circ}$。

例2 如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上一点,PE⊥BC,垂足为E,PF⊥DC,垂足为F.求证:
(1)EF=AP;
(2)EF⊥AP.


证明：
(1) 连接PC。
因为四边形ABCD是正方形，BD是对角线，所以∠ABP = ∠CBP，AB = BC。
在△ABP和△CBP中，$\begin{cases}AB = BC\\\angle ABP = \angle CBP\\BP = BP\end{cases}$，根据SAS（边角边）定理可得△ABP≌△CBP，所以AP = CP。
因为PE⊥BC，PF⊥DC，四边形ABCD是正方形，所以∠C = 90°，则四边形PECF是矩形，根据矩形的性质，矩形的对角线相等，所以EF = CP，又因为AP = CP，所以EF = AP。
(2) 延长AP交EF于点H。
由(1)知△ABP≌△CBP，所以∠BAP=∠BCP。
因为四边形PECF是矩形，所以∠PEC = 90°，∠EFC+∠FEC = 90°，且∠BCP=∠EFC（矩形对边平行，内错角相等）。
所以∠BAP=∠EFC。
因为∠BAP + ∠APH=∠BPC（对顶角相等），∠EFC+∠FEH = 90°，∠APH=∠FEH（对顶角相等），所以∠AHE = 90°，即EF⊥AP。

答案： 【解析】：
(1) 连接$PC$。
因为四边形$ABCD$是正方形，$BD$是对角线，所以$\angle ABP = \angle CBP$，$AB = BC$。
在$\triangle ABP$和$\triangle CBP$中，$\begin{cases}AB = BC\\\angle ABP = \angle CBP\\BP = BP\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABP\cong\triangle CBP$，所以$AP = CP$。
因为$PE\perp BC$，$PF\perp DC$，四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle C = 90^{\circ}$，则四边形$PECF$是矩形，根据矩形的性质，矩形的对角线相等，所以$EF = CP$，又因为$AP = CP$，所以$EF = AP$。
(2) 延长$AP$交$EF$于点$H$。
由
(1)知$\triangle ABP\cong\triangle CBP$，所以$\angle BAP=\angle BCP$。
因为四边形$PECF$是矩形，所以$\angle PEC = 90^{\circ}$，$\angle EFC+\angle FEC = 90^{\circ}$，且$\angle BCP=\angle EFC$（矩形对边平行，内错角相等）。
所以$\angle BAP=\angle EFC$。
因为$\angle BAP + \angle APH=\angle BPC$（对顶角相等），$\angle EFC+\angle FEH = 90^{\circ}$，$\angle APH=\angle FEH$（对顶角相等），所以$\angle AHE = 90^{\circ}$，即$EF\perp AP$。
【答案】：
(1) $EF = AP$得证。
(2) $EF\perp AP$得证。