《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

15. (10分)如图,在$□ ABCD$中,$DB=DA$,$∠ADB$的平分线交 AB 于点 F,交 CB 的延长线于点 E,连接 AE.
(1)求证:四边形 AEBD 是菱形;
(2)若$DC=6$,$EF:BF=2:1$,求菱形 AEBD 的面积.36

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，即$AD// BE$。
所以$\angle ADE=\angle BED$。
因为$DE$平分$\angle ADB$，所以$\angle ADE = \angle BDE$。
则$\angle BED=\angle BDE$，所以$BE = BD$。
又因为$DB = DA$，所以$AD = BE$。
又$AD// BE$，所以四边形$AEBD$是平行四边形。
又$DB = DA$，所以平行四边形$AEBD$是菱形。
2. （2）解：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = DC = 6$。
因为四边形$AEBD$是菱形，所以$AB\perp DE$，$AF = BF=\frac{1}{2}AB = 3$。
因为$EF:BF = 2:1$，所以$EF = 6$，则$DE=EF + DF=6 + 6=12$。
根据菱形面积公式$S=\frac{1}{2}× 对角线之积$，对于菱形$AEBD$，其对角线为$AB$和$DE$。
所以$S_{菱形AEBD}=\frac{1}{2}× AB× DE$。
把$AB = 6$，$DE = 12$代入可得$S_{菱形AEBD}=\frac{1}{2}×6×12 = 36$。
综上，（1）证明如上；（2）菱形$AEBD$的面积为$36$。

16. (10分)如图,在$□ ABCD$中,E 是边 AB 的中点,连接 CE 并延长,交 DA 的延长线于点 F,连接 AC,BF.
(1)求证:四边形 AFBC 是平行四边形.
(2)当$∠AEC$的度数为$90^{\circ}$时,四边形 AFBC 是菱形?
(3)若$∠D=52^{\circ }$,则当$∠AEC$的度数为$104^{\circ}$时,四边形 AFBC 是矩形?

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，则$\angle FAE=\angle CBE$。
又因为$E$是$AB$的中点，所以$AE = BE$。
且$\angle FEA=\angle CEB$（对顶角相等）。
在$\triangle FAE$和$\triangle CBE$中，$\begin{cases}\angle FAE=\angle CBE\\AE = BE\\\angle FEA=\angle CEB\end{cases}$，根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理可得$\triangle FAE\cong\triangle CBE$。
所以$FA = BC$。
又因为$FA// BC$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，所以四边形$AFBC$是平行四边形。
2. （2）
当$\angle AEC = 90^{\circ}$时，四边形$AFBC$是菱形。
理由：由（1）知四边形$AFBC$是平行四边形，因为$E$是$AB$中点，$CE\perp AB$（$\angle AEC = 90^{\circ}$），根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，所以平行四边形$AFBC$是菱形。
3. （3）
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$\angle D=\angle ABC = 52^{\circ}$。
若四边形$AFBC$是矩形，则$AB = FC$，又因为$E$是$AB$中点，所以$AE=BE$，$FE = CE$，$\angle FBC = 90^{\circ}$。
因为$FA// BC$，所以$\angle FAB+\angle ABC = 180^{\circ}$，则$\angle FAB = 128^{\circ}$。
因为$EA = EF$（由$\triangle FAE\cong\triangle CBE$得$FE = CE$，$AE = BE$，平行四边形$AFBC$中$FE = CE$，$AE = BE$，矩形中$AB = FC$，所以$AE = FE$），所以$\angle F=\angle FAE$。
又因为$\angle F+\angle FAE=\angle FAB$，所以$\angle FAE=\frac{1}{2}\angle FAB = 64^{\circ}$。
因为$\angle AEC=\angle F+\angle FAE$（三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），且$\angle F=\angle FAE = 64^{\circ}$，所以$\angle AEC = 104^{\circ}$。
综上，答案依次为：（1）见上述证明过程；（2）$90^{\circ}$；（3）$104^{\circ}$。