《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

一元二次方程的根与系数的关系
关 系：如果方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根$x_{1},x_{2}$，那么$x_{1}+x_{2}=$$-\frac {b}{a}$，$x_{1}x_{2}=$$\frac {c}{a}$.
语言叙述：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比值的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比值.
易忽略点：运用一元二次方程的根与系数的关系的前提条件是$a≠0$且$\Delta≥0$.

答案： $-\frac {b}{a}$ $\frac {c}{a}$ 比值的相反数 比值

例1 下列各方程中，设方程的两根为$x_{1},x_{2}$，两根之和与两根之积各是多少？
(1)$3x^{2}=1$，则$x_{1}+x_{2}=$0，$x_{1}x_{2}=$$-\frac {1}{3}$；
(2)$2x^{2}+3x=0$，则$x_{1}+x_{2}=$$-\frac {3}{2}$，$x_{1}x_{2}=$0；
(3)$x^{2}-3x+1=0$，则$x_{1}+x_{2}=$3，$x_{1}x_{2}=$1；
(4)$4x^{2}-7x+1=0$，则$x_{1}+x_{2}=$$\frac {7}{4}$，$x_{1}x_{2}=$$\frac {1}{4}$.

答案：
(1)0 $-\frac {1}{3}$
(2)$-\frac {3}{2}$ 0
(3) 3 1
(4)$\frac {7}{4}$ $\frac {1}{4}$

例2 [2023·衡阳]已知关于$x$的方程$x^{2}+mx-20=0$的一个根是$-4$，则它的另一个根是5.

答案： 5

例3 已知关于$x$的方程$x^{2}-2x=k^{2}$($k$为常数).
(1)求证：无论$k$为何值，方程都有两个不相等的实数根；
的根与系数的关系
(2)设$x_{1},x_{2}$为方程的两个实数根，且满足$(x_{1}-x_{2})^{2}=12-2x_{1}x_{2}$，试求$k$的值.±2

答案： $(1)$ 证明方程有两个不相等的实数根
将方程$x^{2}-2x = k^{2}$化为一般形式：$x^{2}-2x - k^{2}=0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-2x - k^{2}=0$中，$a = 1$，$b = -2$，$c=-k^{2}$，则$\Delta=(-2)^{2}-4×1×(-k^{2})$
$=4 + 4k^{2}$。
因为$k^{2}\geqslant0$，所以$4k^{2}\geqslant0$，那么$4 + 4k^{2}＞0$，即$\Delta＞0$。
所以，无论$k$为何值，方程都有两个不相等的实数根。
$(2)$ 求$k$的值
解：对于一元二次方程$x^{2}-2x - k^{2}=0$，由韦达定理可知$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}=2$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=-k^{2}$。
已知$(x_{1}-x_{2})^{2}=12 - 2x_{1}x_{2}$，根据完全平方公式$(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$，则有：
$(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=12 - 2x_{1}x_{2}$
把$x_{1}+x_{2}=2$，$x_{1}x_{2}=-k^{2}$代入上式得：
$2^{2}-4×(-k^{2})=12 - 2×(-k^{2})$
即$4 + 4k^{2}=12 + 2k^{2}$。
移项可得：$4k^{2}-2k^{2}=12 - 4$。
合并同类项得：$2k^{2}=8$。
两边同时除以$2$：$k^{2}=4$。
解得$k=\pm2$。
综上，$(1)$ 证明见上述过程；$(2)$$k = \pm2$。

例4 已知$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-2x+k+2=0$的两个实数根.
(1)求$k$的取值范围.$k≤-1$
(2)是否存在实数$k$，使得等式$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}=k-2$成立？如果存在，请求出$k$的值；如果不存在，请说明理由.存在实数$k=-\sqrt {6}$，使得等式$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}=k-2$成立.

答案： $(1)$求$k$的取值范围
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-2x + k + 2 = 0$中，$a = 1$，$b = -2$，$c = k + 2$。
因为方程有两个实数根，所以$\Delta\geqslant0$，即$(-2)^{2}-4×1×(k + 2)\geqslant0$。
展开式子得$4-4k-8\geqslant0$，
移项得$-4k\geqslant8 - 4$，
即$-4k\geqslant4$，
两边同时除以$-4$，不等号变向，解得$k\leqslant - 1$。
$(2)$判断是否存在实数$k$，使得等式$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=k - 2$成立
解：根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，若$x_{1}$，$x_{2}$是其两根，则$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}-2x + k + 2 = 0$中，$x_{1}+x_{2}=-\frac{-2}{1}=2$，$x_{1}x_{2}=\frac{k + 2}{1}=k + 2$。
因为$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}$，且$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=k - 2$，所以$\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=k - 2$。
将$x_{1}+x_{2}=2$，$x_{1}x_{2}=k + 2$代入上式得$\frac{2}{k + 2}=k - 2$。
两边同时乘以$k + 2$（$k+2\neq0$，即$k\neq - 2$）得$2=(k - 2)(k + 2)$。
根据平方差公式$(a-b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$，则$2=k^{2}-4$。
移项得$k^{2}=6$，解得$k=\pm\sqrt{6}$。
又因为由$(1)$知$k\leqslant - 1$，所以$k=-\sqrt{6}$。
综上，$(1)$$k$的取值范围是$k\leqslant - 1$；$(2)$存在实数$k$，$k$的值为$-\sqrt{6}$。