《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

如图,在一块长92m、宽60m的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等),水渠把耕地分成面积均为885m²的6个矩形小块,水渠应挖多宽?

水渠的宽为1m.

答案： 1. 设水渠的宽为$x$米：
因为三条水渠把耕地分成$6$个面积均为$885m^{2}$的矩形小块，所以耕地总面积（除去水渠面积）为$6×885m^{2}$。
原来矩形耕地面积为$92×60m^{2}$，三条水渠的面积：两条水渠的长为$60$米，宽为$x$米，另一条水渠的长为$92$米，宽为$x$米，但是三条水渠相交处有两个边长为$x$米的正方形重叠部分（重叠部分面积多减了一次，需要加回来）。
则可列方程：$92×60-(60×2 + 92)x+2x^{2}=6×885$。
2. 化简方程：
先计算$92×60 = 5520$，$6×885 = 5310$，$60×2 + 92=120 + 92 = 212$。
方程变为$5520-212x + 2x^{2}=5310$。
移项得$2x^{2}-212x+5520 - 5310 = 0$，即$2x^{2}-212x + 210 = 0$。
两边同时除以$2$得$x^{2}-106x + 105 = 0$。
3. 求解一元二次方程$x^{2}-106x + 105 = 0$：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-106$，$c = 105$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，也可因式分解。
对$x^{2}-106x + 105 = 0$因式分解，因为$x^{2}-106x + 105=(x - 1)(x - 105)=0$。
则$x - 1 = 0$或$x - 105 = 0$。
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=105$。
又因为$x\lt60$（水渠宽不能超过耕地的宽），所以$x = 105$舍去。
所以水渠应挖$1$米宽。

1. [2023秋·和平区期中]如图,公园原有一块长18m、宽6m的矩形空地,后来从这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花,中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开.若种植鲜花区域的面积和为85m²,则所铺设的石子路的宽度为1m.

答案： 1

2. 如图,在一块长32m、宽20m的矩形地面上修建三条入口宽度相等的小路,每条小路的两边是互相平行的,且其中一条小路与矩形地面的一边平行.若使剩余部分的面积为570m²,则小路的入口宽度为1m.

答案： 1

3. 如图1,有一块长为a m、宽为b m的矩形场地,计划在该场地上修筑宽为x m的两条互相垂直的道路,余下的四块矩形场地建成草坪.
(1)已知a=26,b=15,并且四块草坪的面积和为312m²,问每条道路的宽x为多少米?2
(2)已知a:b=2:1,x=2,并且四块草坪的面积和为312m²,问原来矩形场地的长和宽各为多少米?长为28m、宽为14m.
(3)已知a=28,b=14,如图2,要在场地上修筑宽为2m的纵横小路,其中m条水平方向的小路,n条竖直方向的小路(m,n为正整数),使草坪的总面积为120m²,请求出m,n的值.m=4,n=4;m=2,n=8;m=1,n=9

答案： 1. （1）
解：根据题意，四块草坪可拼成一个长为$(a - x)$米，宽为$(b - x)$米的矩形。
已知$a = 26$，$b = 15$，四块草坪面积和为$312m^{2}$，则$(26 - x)(15 - x)=312$。
展开式子得：$26×15-26x - 15x+x^{2}=312$。
即$390-(26 + 15)x+x^{2}=312$，$x^{2}-41x + 390 - 312 = 0$，$x^{2}-41x + 78 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a = 1,b=-41,c = 78)$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，这里$\Delta=b^{2}-4ac=(-41)^{2}-4×1×78=1681 - 312 = 1369$，$\sqrt{\Delta}=37$。
$x=\frac{41\pm37}{2}$，$x_{1}=\frac{41 + 37}{2}=\frac{78}{2}=39$（舍去，因为$x\lt b$且$x\lt a$），$x_{2}=\frac{41-37}{2}=\frac{4}{2}=2$。
所以每条道路的宽$x$为$2$米。
2. （2）
解：因为$a:b = 2:1$，设$b=t$，则$a = 2t$。
四块草坪可拼成一个长为$(a - x)=(2t - 2)$米，宽为$(b - x)=(t - 2)$米的矩形，且面积为$312m^{2}$。
则$(2t - 2)(t - 2)=312$。
展开式子得：$2t^{2}-4t-2t + 4 = 312$。
即$2t^{2}-6t-308 = 0$，化简为$t^{2}-3t - 154 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a = 1,b=-3,c=-154)$，$\Delta=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×(-154)=9 + 616 = 625$，$\sqrt{\Delta}=25$。
$t=\frac{3\pm25}{2}$，$t_{1}=\frac{3 + 25}{2}=14$，$t_{2}=\frac{3-25}{2}=-11$（舍去）。
所以$b = 14$米，$a = 28$米。
3. （3）
解：草坪可拼成一个长为$(28 - 2n)$米，宽为$(14 - 2m)$米的矩形。
则$(28 - 2n)(14 - 2m)=120$。
展开得：$28×14-56m-28n + 4mn=120$。
$392-56m-28n + 4mn=120$，$4mn-56m-28n+392 - 120 = 0$，两边同时除以$4$得$mn-14m - 7n + 68 = 0$。
变形为$m=\frac{7n - 68}{n - 14}=\frac{7n-98 + 30}{n - 14}=7+\frac{30}{n - 14}$。
因为$m$，$n$为正整数。
当$n - 14 = 1$时，$n = 15$，$m=7 + 30=37$；
当$n - 14 = 2$时，$n = 16$，$m=7 + 15=22$；
当$n - 14 = 3$时，$n = 17$，$m=7 + 10=17$；
当$n - 14 = 5$时，$n = 19$，$m=7 + 6=13$；
当$n - 14 = 6$时，$n = 20$，$m=7 + 5=12$；
当$n - 14 = 10$时，$n = 24$，$m=7 + 3=10$；
当$n - 14 = 15$时，$n = 29$，$m=7 + 2=9$；
当$n - 14 = 30$时，$n = 44$，$m=7 + 1=8$。
综上：（1）$x = 2$；（2）$a = 28$，$b = 14$；（3）$\begin{cases}m = 8,n = 44\\m = 9,n = 29\\m = 10,n = 24\\m = 12,n = 20\\m = 13,n = 19\\m = 17,n = 17\\m = 22,n = 16\\m = 37,n = 15\end{cases}$。