《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

已知:如图,在$□ ABCD$中,对角线AC的垂直平分线分别与AD,AC,BC相交于点E,O,F.求证:四边形AFCE是菱形.
证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，即$AE// FC$，所以$\angle EAO=\angle FCO$。
因为$EF$是$AC$的垂直平分线，所以$AO = CO$。
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle EAO=\angle FCO\\AO = CO\\\angle AOE=\angle COF\end{array}\right.$，根据$ASA$定理可得$\triangle AOE\cong\triangle COF$。
由$\triangle AOE\cong\triangle COF$可得$AE = CF$。
又因为$AE// CF$，所以四边形$AFCE$是平行四边形。
因为$EF\perp AC$，根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形$AFCE$是菱形。

答案： 【解析】：
- 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，即$AE// FC$，所以$\angle EAO=\angle FCO$。
- 因为$EF$是$AC$的垂直平分线，所以$AO = CO$。
- 在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle EAO=\angle FCO\\AO = CO\\\angle AOE=\angle COF = 90^{\circ}\end{array}\right.$，根据$ASA$（角边角）定理可得$\triangle AOE\cong\triangle COF$。
- 由$\triangle AOE\cong\triangle COF$可得$AE = CF$。
- 又因为$AE// CF$，所以四边形$AFCE$是平行四边形。
- 因为$EF\perp AC$，根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形$AFCE$是菱形。
【答案】：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AE// FC$，$\angle EAO=\angle FCO$。
因为$EF$是$AC$的垂直平分线，所以$AO = CO$。
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle EAO=\angle FCO\\AO = CO\\\angle AOE=\angle COF = 90^{\circ}\end{array}\right.$，所以$\triangle AOE\cong\triangle COF(ASA)$，则$AE = CF$。
又$AE// CF$，所以四边形$AFCE$是平行四边形。
又$EF\perp AC$，所以平行四边形$AFCE$是菱形。

1. 如图,在四边形ABCD中,$AD// BC$,对角线BD的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点M,N.
(1)求证:四边形BNDM是菱形;
(2)若$BD=24,MN=10$,求四边形BNDM的周长.52

答案： 1. （1）
证明：
因为$AD// BC$，所以$\angle MDO=\angle NBO$。
因为$MN$是对角线$BD$的垂直平分线，所以$OB = OD$，$\angle MOD=\angle NOB = 90^{\circ}$。
在$\triangle MOD$和$\triangle NOB$中，$\begin{cases}\angle MDO=\angle NBO\\OD = OB\\\angle MOD=\angle NOB\end{cases}$，根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，$\triangle MOD\cong\triangle NOB$。
所以$OM = ON$。
又因为$OB = OD$，所以四边形$BNDM$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又因为$MN\perp BD$，所以平行四边形$BNDM$是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
2. （2）
解：
因为四边形$BNDM$是菱形，$BD = 24$，$MN = 10$，设$BD$与$MN$相交于点$O$，则$BO=\frac{1}{2}BD = 12$，$MO=\frac{1}{2}MN = 5$。
在$Rt\triangle BOM$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = MO$，$b = BO$，$c = BM$），可得$BM=\sqrt{BO^{2}+MO^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$。
因为菱形的四条边都相等，所以四边形$BNDM$的周长$C = 4BM$。
把$BM = 13$代入，得$C = 4×13 = 52$。
综上，（1）证明见上述过程；（2）四边形$BNDM$的周长为$52$。

2. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ABC$的平分线交AD于点F,$EF// AB$交BC于点E,连接AE交BF于点O.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若$AB=5,BF=8,CE=\frac {1}{2}AE$,求$□ ABCD$的面积.

(1)略 (2)$S_{□ ABCD}=$$\frac {192}{5}$

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，又$EF// AB$，所以四边形$ABEF$是平行四边形。
因为$BF$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABF = \angle EBF$。
由于$AD// BC$，所以$\angle AFB=\angle EBF$。
则$\angle ABF=\angle AFB$，所以$AB = AF$。
因为平行四边形$ABEF$中$AB = AF$，所以四边形$ABEF$是菱形。
2. （2）解：
因为四边形$ABEF$是菱形，$BF = 8$，所以$BO=\frac{1}{2}BF = 4$，$AE\perp BF$。
在$Rt\triangle AOB$中，$AB = 5$，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$c = AB$，$a = BO$，$b = AO$），可得$AO=\sqrt{AB^{2}-BO^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$，所以$AE = 2AO=6$。
因为$CE=\frac{1}{2}AE$，所以$CE = 3$。
过$A$作$AH\perp BC$于$H$。
因为四边形$ABEF$是菱形，所以$BE = AB = 5$，则$BC=BE + CE=5 + 3=8$。
因为$S_{菱形ABEF}=\frac{1}{2}AE\cdot BF=AB\cdot AH$，$\frac{1}{2}×6×8 = 5× AH$，解得$AH=\frac{24}{5}$。
所以$S_{□ ABCD}=BC\cdot AH=8×\frac{24}{5}=\frac{192}{5}$。
综上，（1）四边形$ABEF$是菱形得证；（2）$□ ABCD$的面积为$\frac{192}{5}$。