《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. [2023·天津]若$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-6x-7=0$的两个根，则（A）
A.$x_{1}+x_{2}=6$
B.$x_{1}+x_{2}=-6$
C.$x_{1}x_{2}=\frac {7}{6}$
D.$x_{1}x_{2}=7$

答案： A

2. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+5x-m=0$的一个根是2，则另一个根是（A）
A. $-7$
B. 7
C. 3
D. $-3$

答案： A

3. [2023·随州]已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-3x+1=0$的两个实数根分别为$x_{1}$和$x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}$的值为2.

答案： 2

4. 设$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-4x+1=0$的两个根，则：
(1)$x_{1}+x_{2}=$4，$x_{1}x_{2}=$1；
(2)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-$$2x_{1}x_{2}$$=$14；
(3)$(x_{1}-x_{2})^{2}=$($x_{1}+x_{2}$)$^{2}-4x_{1}x_{2}=$12.

答案：
(1)4 1
(2)$2x_{1}x_{2}$ 14
(3)$x_{1}+x_{2}$ 12

5. [2022·眉山]设$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}+2x-3=0$的两个实数根，则$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$的值为10.

答案： 10

1. 已知实数$x_{1},x_{2}$满足$x_{1}+x_{2}=7$，$x_{1}x_{2}=12$，则以$x_{1},x_{2}$为根的一元二次方程可能是（A）
A. $x^{2}-7x+12=0$
B. $x^{2}+7x+12=0$
C. $x^{2}+7x-12=0$
D. $x^{2}-7x-12=0$

答案： A

2. [2023·宜昌]已知$x_{1},x_{2}$是方程$2x^{2}-3x+1=0$的两根，则代数式$\frac {x_{1}+x_{2}}{1+x_{1}x_{2}}$的值为1.

答案： 1

3. 已知$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}+6x+3=0$的两实数根，求下列代数式的值：
(1)$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$；
(2)$\frac {x_{2}}{x_{1}}+\frac {x_{1}}{x_{2}}$；
(3)$(x_{1}+1)(x_{2}+1)$.

答案： 1. （1）
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}+6x + 3 = 0$中，$a = 1$，$b = 6$，$c = 3$，所以$x_{1}+x_{2}=-6$，$x_{1}x_{2}=3$。
根据完全平方公式$(x_{1}+x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$，则$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}$。
把$x_{1}+x_{2}=-6$，$x_{1}x_{2}=3$代入上式得：$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(-6)^{2}-2×3=36 - 6=30$。
2. （2）
解：$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}{x_{1}x_{2}}$。
由（1）知$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=30$，$x_{1}x_{2}=3$。
所以$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{30}{3}=10$。
3. （3）
解：根据多项式乘法法则$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1$。
把$x_{1}+x_{2}=-6$，$x_{1}x_{2}=3$代入上式得：$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=3+( - 6)+1=3 - 6 + 1=-2$。
综上，（1）$30$；（2）$10$；（3）$-2$。

4. [2023·黄冈]已知一元二次方程$x^{2}-3x+k=0$的两个实数根为$x_{1},x_{2}$，若$x_{1}x_{2}+2x_{1}+2x_{2}=1$，则实数$k=$-5.

答案： -5

5. [2023·达州]已知$x_{1},x_{2}$是方程$2x^{2}+kx-2=0$的两个实数根，且$(x_{1}-2)(x_{2}-2)=10$，则$k$的值为7.

答案： 7

6. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2mx+m^{2}-4m-1=0$有两个实数根$x_{1},x_{2}$，且$(x_{1}+2)(x_{2}+2)-2x_{1}x_{2}=17$，求$m$的值.$m=2$或6

答案： 解：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，两根之和$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$。
在方程$x^{2}-2mx + m^{2}-4m - 1 = 0$中，$a = 1$，$b=-2m$，$c=m^{2}-4m - 1$。
则$\Delta=(-2m)^{2}-4×1×(m^{2}-4m - 1)=4m^{2}-4m^{2}+16m + 4=16m + 4$。
因为方程有两个实数根，所以$\Delta\geq0$，即$16m + 4\geq0$，解得$m\geq-\frac{1}{4}$。
$x_{1}+x_{2}=-\frac{-2m}{1}=2m$，$x_{1}x_{2}=\frac{m^{2}-4m - 1}{1}=m^{2}-4m - 1$。
已知$(x_{1}+2)(x_{2}+2)-2x_{1}x_{2}=17$，将$(x_{1}+2)(x_{2}+2)$展开：
$(x_{1}+2)(x_{2}+2)=x_{1}x_{2}+2x_{1}+2x_{2}+4=x_{1}x_{2}+2(x_{1}+x_{2})+4$。
所以$x_{1}x_{2}+2(x_{1}+x_{2})+4-2x_{1}x_{2}=17$，即$-x_{1}x_{2}+2(x_{1}+x_{2})+4 = 17$。
把$x_{1}+x_{2}=2m$，$x_{1}x_{2}=m^{2}-4m - 1$代入上式得：
$-(m^{2}-4m - 1)+2×2m+4 = 17$。
去括号得：$-m^{2}+4m + 1+4m+4 = 17$。
移项得：$-m^{2}+4m+4m+1 + 4-17 = 0$。
合并同类项得：$-m^{2}+8m-12 = 0$。
两边同时乘以$-1$得：$m^{2}-8m + 12 = 0$。
分解因式得：$(m - 2)(m - 6)=0$。
则$m - 2 = 0$或$m - 6 = 0$，解得$m = 2$或$m = 6$。
又因为$m\geq-\frac{1}{4}$，所以$m = 2$或$m = 6$。
综上，$m$的值为$\boldsymbol{2}$或$\boldsymbol{6}$。