《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 如图，$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$，相似比为$1:2$。若$BC = 1$，则$EF$的长是（B）

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B

2. 已知一个三角形的两个内角分别是$40^{\circ}$，$60^{\circ}$，另一个三角形的两个内角分别是$40^{\circ}$，$80^{\circ}$，则这两个三角形（C）
A. 一定不相似
B. 不一定相似
C. 一定相似
D. 不能确定

答案： C

3. [2022·湖州]如图，已知在$\triangle ABC$中，$D$，$E$分别是$AB$，$AC$上的点，$DE // BC$，$\frac{AD}{AB} = \frac{1}{3}$。若$DE = 2$，则$BC$的长为6。

答案： 6

1. [2022·甘肃]若$\triangle ABC \backsim \triangle DEF$，$BC = 6$，$EF = 4$，则$\frac{AC}{DF} =$（D）
A. $\frac{4}{9}$
B. $\frac{9}{4}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{3}{2}$

答案： D

2. [2022·北京]如图，在矩形$ABCD$中，若$AB = 3$，$AC = 5$，$\frac{AF}{FC} = \frac{1}{4}$，则$AE$的长为1。

答案： 1

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$DE // BC$，$EF // AB$，求证：$\triangle ADE \backsim \triangle EFC$。


证明：
- 因为$DE// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”，所以$\angle ADE = \angle B$，$\angle AED=\angle C$。
- 又因为$EF// AB$，根据“两直线平行，同位角相等”，所以$\angle EFC = \angle B$。
- 由$\angle ADE = \angle B$和$\angle EFC = \angle B$，可得$\angle ADE=\angle EFC$。
- 在$\triangle ADE$和$\triangle EFC$中，$\angle AED=\angle C$，$\angle ADE=\angle EFC$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，所以$\triangle ADE\backsim\triangle EFC$。

答案： 【解析】：
- 因为$DE// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”，所以$\angle ADE = \angle B$，$\angle AED=\angle C$。
- 又因为$EF// AB$，根据“两直线平行，同位角相等”，所以$\angle EFC = \angle B$。
- 由$\angle ADE = \angle B$和$\angle EFC = \angle B$，可得$\angle ADE=\angle EFC$。
- 在$\triangle ADE$和$\triangle EFC$中，$\angle AED=\angle C$，$\angle ADE=\angle EFC$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，所以$\triangle ADE\backsim\triangle EFC$。
【答案】：$\triangle ADE\backsim\triangle EFC$

4. [2023·邵阳]如图，$CA \perp AD$，$ED \perp AD$，点$B$是线段$AD$上的一点，且$CB \perp BE$。已知$AB = 8$，$AC = 6$，$DE = 4$。
(1)求证：$\triangle ABC \backsim \triangle DEB$；
(2)求线段$BD$的长。

(1)略
(2)$BD = 3$

答案： 1. （1）证明$\triangle ABC\backsim\triangle DEB$：
因为$CA\perp AD$，$ED\perp AD$，$CB\perp BE$，所以$\angle A = \angle D=\angle CBE = 90^{\circ}$。
则$\angle C+\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle ABC+\angle EBD = 90^{\circ}$。
根据同角的余角相等，可得$\angle C=\angle EBD$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEB$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle D\\\angle C=\angle EBD\end{array}\right.$。
所以$\triangle ABC\backsim\triangle DEB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
2. （2）求线段$BD$的长：
解：由（1）知$\triangle ABC\backsim\triangle DEB$。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AC}{BD}=\frac{AB}{DE}$。
已知$AB = 8$，$AC = 6$，$DE = 4$，代入$\frac{AC}{BD}=\frac{AB}{DE}$中，即$\frac{6}{BD}=\frac{8}{4}$。
交叉相乘得：$8BD=6×4$。
化简得：$8BD = 24$。
两边同时除以$8$：$BD=\frac{24}{8}=3$。
综上，（1）已证$\triangle ABC\backsim\triangle DEB$；（2）$BD$的长为$3$。

5. [2023·大庆]在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动。有一张矩形纸片$ABCD$如图所示，点$N$在边$AD$上，现将矩形折叠，折痕为$BN$，点$A$对应的点记为点$M$，若点$M$恰好落在边$DC$上，则图中与$\triangle NDM$一定相似的三角形是$\triangle MCB$。

答案： $\triangle MCB$