《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（C）
A. $x^{2}+\frac {1}{x}=1$
B. $x^{2}+1=(x-1)^{2}$
C. $x^{2}=2$
D. $2x^{2}-1=y$

答案： C

2. [2023·怀化]已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+mx-2=0$的一个根为$-1$，则$m$的值为$-1$，另一个根为2．

答案： $-1$ 2

3. 已知关于$x$的方程$(m+1)x^{m^{2}+1}+(m-3)x-1=0$．
（1）当$m$取何值时，该方程是一元二次方程？
（2）当$m$取何值时，该方程是一元一次方程？

答案：
(1)当$m=1$时，该方程是一元二次方程.
(2)当$m=-1$或0时，该方程是一元一次方程.

4. 一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程$x^{2}-6x+8=0$的根，则这个三角形的周长为12．

答案： 12

5. 解下列方程：
（1）$x^{2}-4x-1=0$（配方法）；$x_{1}=2+\sqrt{5}$，$x_{2}=2-\sqrt{5}$
（2）$3x^{2}-5x+1=0$（公式法）；$x_{1}=\frac{5+\sqrt{13}}{6}$，$x_{2}=\frac{5-\sqrt{13}}{6}$
（3）$x^{2}-1=2(x+1)$．$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$

答案： $(1)$ 用配方法解方程$x^{2}-4x - 1 = 0$
解：
移项，得$x^{2}-4x = 1$。
配方，在等式两边加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{-4}{2})^2 = 4$，得$x^{2}-4x + 4 = 1 + 4$。
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = x$，$b = 2$，则$(x - 2)^{2}=5$。
开平方，得$x - 2=\pm\sqrt{5}$。
解得$x_{1}=2+\sqrt{5}$，$x_{2}=2 - \sqrt{5}$。
$(2)$ 用公式法解方程$3x^{2}-5x + 1 = 0$
解：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$3x^{2}-5x + 1 = 0$中，$a = 3$，$b=-5$，$c = 1$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4×3×1=25 - 12 = 13$。
将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式，得$x=\frac{5\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{5\pm\sqrt{13}}{6}$。
所以$x_{1}=\frac{5+\sqrt{13}}{6}$，$x_{2}=\frac{5 - \sqrt{13}}{6}$。
$(3)$ 解方程$x^{2}-1 = 2(x + 1)$
解：
将方程左边因式分解，根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$，则原方程可化为$(x + 1)(x - 1)-2(x + 1)=0$。
提取公因式$(x + 1)$，得$(x + 1)(x - 1 - 2)=0$，即$(x + 1)(x - 3)=0$。
根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”，可得$x + 1 = 0$或$x - 3 = 0$。
解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$。
综上，答案依次为：$(1)$$x_{1}=2+\sqrt{5}$，$x_{2}=2 - \sqrt{5}$；$(2)$$x_{1}=\frac{5+\sqrt{13}}{6}$，$x_{2}=\frac{5 - \sqrt{13}}{6}$；$(3)$$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$。