《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 平行线分线段成比例
基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.

答案： 对应线段

2. 平行线分线段成比例的推论
推 论:平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例.
说 明:图1简称“A”型,图2简称“X”型.

答案： 对应线段

例1 如图,直线$l_{1}// l_{2}// l_{3}$,直线AC分别交$l_{1},l_{2},l_{3}$于点A,B,C,直线DF分别交$l_{1},l_{2},l_{3}$于点D,E,F.AC与DF相交于点H,且$AH=2,HB=1,BC=5$,则$\frac {DE}{EF}$的值为 (D)

A. $\frac {1}{2}$
B. 2
C. $\frac {2}{5}$
D. $\frac {3}{5}$

答案： D

例2 如图,在$△ABC$中,D,E分别是AB,AC上的点,且$DE// BC$.
(1)如果$AD=7,DB=3,EC=2$,那么AE的长是$\frac{14}{3}$.
(2)如果$AB=10,AD=6,EC=3$,那么AE的长是$\frac{9}{2}$.

答案： 1. （1）
解：
因为$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$。
已知$AD = 7$，$DB = 3$，$EC = 2$，将其代入$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$中，即$\frac{7}{3}=\frac{AE}{2}$。
交叉相乘可得$3AE=7×2$，则$AE=\frac{14}{3}$。
2. （2）
解：
因为$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，有$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
设$AE = x$，则$AC=AE + EC=x + 3$。
已知$AB = 10$，$AD = 6$，代入$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$可得$\frac{6}{10}=\frac{x}{x + 3}$。
交叉相乘：$6(x + 3)=10x$。
展开式子：$6x+18 = 10x$。
移项：$10x-6x=18$。
合并同类项：$4x = 18$。
解得$x=\frac{9}{2}$。
综上，（1）中$AE$的长是$\frac{14}{3}$；（2）中$AE$的长是$\frac{9}{2}$。

例3 如图,在$△ABC$中,点D,E,F分别在边AB,AC和BC上,且$DE// BC,EF// AB,AD:DB=2:3,BC=20$,求BF的长.

8

答案： 解：
因为$DE// BC$，所以$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$（平行线分线段成比例定理），已知$AD:DB = 2:3$，则$\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}$。
又因为$EF// AB$，所以$\frac{AE}{EC}=\frac{BF}{FC}$（平行线分线段成比例定理），即$\frac{BF}{FC}=\frac{2}{3}$。
设$BF = 2x$，则$FC = 3x$。
因为$BC=BF + FC$，且$BC = 20$，所以$2x + 3x=20$，即$5x = 20$，解得$x = 4$。
所以$BF=2x = 8$。
综上，$BF$的长为$8$。

1. 如图,直线$l_{1}// l_{2}// l_{3}$,直线a,b与$l_{1},l_{2},l_{3}$分别交于点A,B,C和点D,E,F.若$AB:BC=2:3,EF=9$,则DE的长是 (B)

A. 4
B. 6
C. 7
D. 12

答案： B

2. 如图,已知$AC// DB,OA:OB=3:5,OA=9,CD=32$,则$OB=$15,$OD=$20.

答案： 15 20