《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

(1)$5x^{2}+x=7;$方程有两个不相等的实数根.
(2)$25x^{2}+20x+4=0;$方程有两个相等的实数根.
(3)$(x+1)(4x+1)=2x.$方程没有实数根.

答案： 【教材母题】
(1)方程有两个不相等的实数根.
(2)方程有两个相等的实数根.
(3)方程没有实数根.

1. [2023·泸州]关于x的一元二次方程$x^{2}+2ax+a^{2}-1=0$的根的情况是 (C)
A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 实数根的个数与实数a的取值有关

答案： 1. C

2. 关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+1=0.$
(1)当$b=a+2$时,利用根的判别式判断方程根的情况;原方程有两个不相等的实数根.
(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.当$a=1,b=2$时,原方程为$x^{2}+2x+1=0$,解得$x_{1}=x_{2}=-1$. (答案不唯一)

答案： $(1)$ 判断方程根的情况
解：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + 1 = 0$（$a\neq0$），其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$（这里$c = 1$）。
当$b=a + 2$时，$\Delta=(a + 2)^{2}-4a×1$
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，展开$(a + 2)^{2}$得：
$\Delta=a^{2}+4a + 4-4a$
合并同类项：$\Delta=a^{2}+4$。
因为$a^{2}\geqslant0$，所以$a^{2}+4＞0$，即$\Delta＞0$。
所以方程有两个不相等的实数根。
$(2)$ 求满足条件的$a$，$b$的值及方程的根
解：因为方程$ax^{2}+bx + 1 = 0$有两个相等的实数根，所以$\Delta=b^{2}-4a=0$。
取$a = 1$，则$b^{2}-4×1=0$，即$b^{2}=4$，解得$b=\pm2$。
当$a = 1$，$b = 2$时，原方程为$x^{2}+2x + 1 = 0$。
根据完全平方公式$m^2+2mn+n^2=(m + n)^2$，方程可化为$(x + 1)^{2}=0$。
解得$x_{1}=x_{2}=-1$。
综上，$(1)$ 方程有两个不相等的实数根；$(2)$ 当$a = 1$，$b = 2$时（答案不唯一），方程的根为$x_{1}=x_{2}=-1$。

3. [2023·荆州]已知关于x的一元二次方程$kx^{2}-(2k+4)x+k-6=0$有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;$k＞-\frac {2}{5}$且$k≠0$
(2)当$k=1$时,用配方法解方程.$x_{1}=3+\sqrt {14},x_{2}=3-\sqrt {14}$

答案： 1. （1）
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$kx^{2}-(2k + 4)x + k-6 = 0$中，$a = k$，$b=-(2k + 4)$，$c = k - 6$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\Delta＞0$且$k\neq0$。
先计算$\Delta$：
$\Delta=(2k + 4)^{2}-4k(k - 6)$
展开$(2k + 4)^{2}-4k(k - 6)$：
根据$(m + n)^{2}=m^{2}+2mn + n^{2}$，$(2k + 4)^{2}=(2k)^{2}+2×2k×4 + 4^{2}=4k^{2}+16k + 16$；
$4k(k - 6)=4k^{2}-24k$；
则$\Delta=4k^{2}+16k + 16-(4k^{2}-24k)$。
去括号得$\Delta=4k^{2}+16k + 16 - 4k^{2}+24k$。
合并同类项得$\Delta=(4k^{2}-4k^{2})+(16k + 24k)+16=40k + 16$。
由$\Delta＞0$，即$40k+16＞0$，解不等式：
$40k＞-16$，两边同时除以$40$，$k＞-\frac{16}{40}=-\frac{2}{5}$。
又因为$k\neq0$，所以$k$的取值范围是$k＞-\frac{2}{5}$且$k\neq0$。
2. （2）
当$k = 1$时，方程为$x^{2}-6x - 5 = 0$。
配方法步骤：
移项得$x^{2}-6x=5$。
配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-6$，一半的平方为$(\frac{-6}{2})^{2}=9$。
则$x^{2}-6x + 9=5 + 9$。
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，$x^{2}-6x + 9=(x - 3)^{2}$，所以$(x - 3)^{2}=14$。
开方得$x-3=\pm\sqrt{14}$。
解得$x_{1}=3+\sqrt{14}$，$x_{2}=3-\sqrt{14}$。
综上，（1）$k＞-\frac{2}{5}$且$k\neq0$；（2）$x_{1}=3+\sqrt{14}$，$x_{2}=3-\sqrt{14}$。

4. 已知关于x的一元二次方程$(a-3)x^{2}-4x+3=0$有两个不相等的实根.
(1)求a的取值范围;$a＜\frac {13}{3}$且$a≠3$
(2)当a取最大整数值时,$△ABC$的三条边长均满足关于x的一元二次方程$(a-3)x^{2}-4x+3=0$,求$△ABC$的周长.3,7 或 9

答案： $(1)$求$a$的取值范围
解：对于一元二次方程$mx^{2}+nx + p = 0(m\neq0)$，其判别式$\Delta=n^{2}-4mp$。
在方程$(a - 3)x^{2}-4x + 3 = 0$中，$m = a - 3$，$n = - 4$，$p = 3$。
因为方程有两个不相等的实根，所以$\begin{cases}a - 3\neq0\\\Delta=(-4)^{2}-4×(a - 3)×3＞0\end{cases}$。
由$a - 3\neq0$，得$a\neq3$。
由$\Delta=16-12(a - 3)＞0$，展开$16-12a+36＞0$，即$52-12a＞0$，移项得$12a＜52$，解得$a＜\frac{13}{3}$。
所以$a$的取值范围是$a＜\frac{13}{3}$且$a\neq3$。
$(2)$求$\triangle ABC$的周长
解：因为$a＜\frac{13}{3}$且$a\neq3$，所以$a$的最大整数值为$4$。
当$a = 4$时，方程为$(4 - 3)x^{2}-4x + 3 = 0$，即$x^{2}-4x + 3 = 0$。
分解因式得$(x - 1)(x - 3)=0$，则$x - 1 = 0$或$x - 3 = 0$，解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$。
因为$\triangle ABC$的三条边长均满足该方程，所以分情况讨论：
当三边都为$1$时，周长$C = 1 + 1+1=3$；
当三边都为$3$时，周长$C = 3 + 3+3=9$；
当两边为$3$，一边为$1$时，$3 + 3＞1$，$3+1＞3$，满足三角形三边关系，周长$C = 3 + 3+1=7$；
当两边为$1$，一边为$3$时，$1 + 1＜3$，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），这种情况舍去。
综上，$\triangle ABC$的周长为$3$或$7$或$9$。