《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

9. [2023秋·沈丘县期末]如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠ACB=90^{\circ }$,E是CB上一点,$ED⊥AB$于点D.若$BC=10,AC=6,DE=4$,则图中阴影部分的面积为$\frac{50}{3}$.

答案： $\frac{50}{3}$

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠C=90^{\circ }$,D是AB的中点,E是线段AC上的动点,$BC=4,AB=8$,当$\triangle ABC$和$\triangle AED$相似时,AE的长为$2\sqrt{3}$或$\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

答案： $2\sqrt{3}$或$\frac{8\sqrt{3}}{3}$

11. 如图,在$□ ABCD$中,点E在AB上,线段CE,BD相交于点F.若$\frac {AE}{BE}=\frac {4}{3}$且$BF=2$,则$DF=$$\frac{14}{3}$.

答案： $\frac{14}{3}$

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB=AC=13cm,BC=10cm$,D是BC的中点,动点P从点A出发以1 cm/s的速度向终点C运动(不与C重合),设运动时间为t(单位:s),若BP的中垂线恰好经过点D时,则t的值为$\frac{119}{13}$.

答案： $\frac{119}{13}$

13. (10分)[2023·上海]如图,在梯形ABCD中,$AD// BC$,点F,E分别在线段BC,AC上,且$∠FAC=∠ADE,AC=AD$.
(1)求证:$DE=$AF;
(2)若$∠ABC=∠CDE$,求证:$AF^{2}=$BF·CE.

答案： 【解析】：
(1)
因为$AD// BC$，所以$\angle DAC = \angle ACF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CAF$中，
$\begin{cases}\angle ADE=\angle FAC\\AD = AC\\\angle DAE=\angle ACF\end{cases}$
根据“$ASA$”（两角及其夹边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ADE\cong\triangle CAF$。
因为全等三角形的对应边相等，所以$DE = AF$。
(2)
因为$AD// BC$，所以$\angle ADC+\angle DCB = 180^{\circ}$。
又因为$\angle ABC=\angle CDE$，$\angle ADE=\angle FAC$，$\triangle ADE\cong\triangle CAF$，所以$\angle AFB=\angle DEC$。
由$AD// BC$得$\angle DAE=\angle ACF$，且$\angle ABC=\angle CDE$，所以$\triangle ABF\sim\triangle ECD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，可得$\frac{BF}{DE}=\frac{AF}{CE}$。
因为$DE = AF$，所以$\frac{BF}{AF}=\frac{AF}{CE}$，即$AF^{2}=BF\cdot CE$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析，可证得$DE = AF$。
(2) 证明见上述解析，可证得$AF^{2}=BF\cdot CE$。

14. (10分)如图,在矩形ABCD中,E为DC上的一点,把$\triangle ADE$沿AE翻折,使点D恰好落在边BC上的点F处.
(1)求证:$\triangle ABF\backsim \triangle FCE$;
(2)若$AB=2\sqrt {3},AD=4$,求CE的长.

(1)略 (2)$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

答案： 1. （1）证明：
在矩形$ABCD$中，$\angle B=\angle C = \angle D=90^{\circ}$。
因为$\triangle ADE$沿$AE$翻折得到$\triangle AFE$，所以$\angle AFE=\angle D = 90^{\circ}$。
则$\angle AFB+\angle EFC = 90^{\circ}$，又因为$\angle BAF+\angle AFB = 90^{\circ}$，所以$\angle BAF=\angle EFC$。
在$\triangle ABF$和$\triangle FCE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle C\\\angle BAF=\angle EFC\end{array}\right.$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABF\backsim\triangle FCE$。
2. （2）解：
因为$AD = AF = 4$，$AB = 2\sqrt{3}$，在$Rt\triangle ABF$中，根据勾股定理$BF=\sqrt{AF^{2}-AB^{2}}$。
把$AF = 4$，$AB = 2\sqrt{3}$代入$BF=\sqrt{AF^{2}-AB^{2}}$，得$BF=\sqrt{4^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{16 - 12}=2$。
所以$FC=BC - BF$，因为$BC = AD = 4$，所以$FC=4 - 2=2$。
设$CE=x$，则$DE = EF=2\sqrt{3}-x$。
在$Rt\triangle EFC$中，根据勾股定理$EF^{2}=FC^{2}+CE^{2}$，即$(2\sqrt{3}-x)^{2}=2^{2}+x^{2}$。
展开$(2\sqrt{3}-x)^{2}$得$12-4\sqrt{3}x+x^{2}=4 + x^{2}$。
移项可得$-4\sqrt{3}x=4 - 12$，即$-4\sqrt{3}x=-8$。
解得$x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
所以$CE$的长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。