《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

例1 如图，利用一面墙(墙长25m)和总长度为49m的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间留两个1m宽的小门，设栅栏BC的长为x m。
(1)$AB=$$(51 - 3x)$m(用含x的代数式表示)。
(2)若矩形围栏ABCD的面积为$210m^{2}$，求栅栏BC的长。
(3)矩形围栏ABCD的面积是否能达到$240m^{2}$？若能，求出相应x的值；若不能，请说明理由。

答案： 1. （1）
已知栅栏总长度为$49m$，中间留两个$1m$宽的小门，$BC = xm$，$AB$的长度：
因为$AB + 3BC-2=49$（$3BC$是因为有三段$BC$长度，减去$2$是两个小门的宽度），所以$AB=(51 - 3x)m$。
2. （2）
解：
根据矩形面积公式$S = AB× BC$，已知$S = 210m^{2}$，$AB=(51 - 3x)m$，$BC = xm$，则$(51 - 3x)x=210$。
展开式子得$51x-3x^{2}=210$，移项化为标准的一元二次方程形式$3x^{2}-51x + 210 = 0$，两边同时除以$3$得$x^{2}-17x + 70 = 0$。
分解因式$(x - 7)(x - 10)=0$，则$x - 7 = 0$或$x - 10 = 0$，解得$x_{1}=7$，$x_{2}=10$。
当$x = 7$时，$AB=51-3×7 = 51 - 21 = 30\gt25$（墙长$25m$，不符合题意，舍去）。
当$x = 10$时，$AB=51-3×10 = 21\lt25$，符合题意。
所以栅栏$BC$的长为$10m$。
3. （3）
解：
假设矩形围栏$ABCD$的面积能达到$240m^{2}$，则$(51 - 3x)x=240$。
展开式子得$51x-3x^{2}=240$，移项化为标准的一元二次方程形式$3x^{2}-51x + 240 = 0$，两边同时除以$3$得$x^{2}-17x + 80 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-17$，$c = 80$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-17)^{2}-4×1×80$。
计算$\Delta = 289 - 320=-31\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以此方程无实数根。
所以矩形围栏$ABCD$的面积不能达到$240m^{2}$。
综上，答案依次为：（1）$(51 - 3x)$；（2）$10m$；（3）不能，理由见上述步骤。

例2 要在一块长52m、宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路。如图是小亮和小颖的设计方案。
(1)求小亮设计方案中道路的宽度x；2 m
方案设计
(2)求小颖设计方案中四块绿地的总面积(提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同)。2299 m²
小亮设计的方案如图1，道路宽度均为x m，剩下的四块绿地面积共$2300m^{2}$。

小颖设计的方案如图2，$BC=HE=xm$，$AB// CD$，$HG// EF$，$AB⊥EF$，$∠1=60^{\circ }$。

答案：
(1)小亮设计方案中道路的宽度为 2 m.
(2)小颖设计方案中四块绿地的总面积为 2299 m².

(1)若$a=12$，则当矩形鸡舍的边长分别为10 m，8 m时，鸡舍的面积为$80m^{2}$？
(2)当a的值在什么范围内时，问题(1)有两个解？一个解？无解？
当$a\geq16$时，问题(1)有两个解，当$10\leq a\lt16$时，问题(1)有一个解，当$0\lt a\lt10$时，无解.

答案：
(1)当矩形鸡舍的长为 10 m，宽为 8 m 时，鸡舍的面积为 80 m².
(2)当$a\geq16$时，问题
(1)有两个解，当$10\leq a\lt16$时，问题
(1)有一个解，当$0\lt a\lt10$时，无解.