《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 在$△ABC$与$△A'B'C'$中，有下列条件：①$\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}$；②$\frac {BC}{B'C'}=\frac {AC}{A'C'}$；③$∠A=∠A'$；④$∠C=∠C'$.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断$△ABC\backsim △A'B'C'$的共有 (C)
A. 1组
B. 2组
C. 3组
D. 4组

答案： C

2. 如图，D，E，F分别是$△ABC$的三边BC，CA，AB的中点.求证：$△DEF\backsim △ABC$.

证明：因为D、E、F分别是$△ABC$三边BC、CA、AB的中点，所以$DE=\frac{1}{2}AB$，$DF = \frac{1}{2}AC$，$EF=\frac{1}{2}BC$，即$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$，所以$\triangle DEF\backsim\triangle ABC$。

答案： 【解析】：
- 因为$D$、$E$分别是$BC$、$AC$的中点，根据三角形中位线定理，可得$DE=\frac{1}{2}AB$，即$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$。
- 同理，因为$D$、$F$分别是$BC$、$AB$的中点，所以$DF = \frac{1}{2}AC$，即$\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$。
- 又因为$E$、$F$分别是$AC$、$AB$的中点，所以$EF=\frac{1}{2}BC$，即$\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$。
- 所以$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$。
- 根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可得$\triangle DEF\backsim\triangle ABC$。
【答案】：
因为$D$、$E$、$F$分别是$\triangle ABC$三边$BC$、$CA$、$AB$的中点，所以$DE=\frac{1}{2}AB$，$DF = \frac{1}{2}AC$，$EF=\frac{1}{2}BC$，即$\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}=\frac{1}{2}$，所以$\triangle DEF\backsim\triangle ABC$。

3. 如图，设网格中每个小正方形的边长均为1，点$A_{1},B_{1},C_{1}$和$A_{2},B_{2},C_{2}$都在小正方形的顶点上.求证：$△A_{1}B_{1}C_{1}\backsim △A_{2}B_{2}C_{2}$.

证明：由勾股定理可得$A_{1}B_{1}=\sqrt{2}$，$B_{1}C_{1}=4$，$A_{1}C_{1}=\sqrt{10}$，$A_{2}B_{2}=\sqrt{1}$，$B_{2}C_{2}=2$，$A_{2}C_{2}=\sqrt{5}$。
$\frac{A_{1}B_{1}}{A_{2}B_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1}}=\sqrt{2}$，$\frac{B_{1}C_{1}}{B_{2}C_{2}}=\frac{4}{2}=2=\sqrt{2}×\sqrt{2}$，$\frac{A_{1}C_{1}}{A_{2}C_{2}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$。
即$\frac{A_{1}B_{1}}{A_{2}B_{2}}=\frac{B_{1}C_{1}}{B_{2}C_{2}}=\frac{A_{1}C_{1}}{A_{2}C_{2}}=\sqrt{2}$。
所以$△A_{1}B_{1}C_{1}\backsim △A_{2}B_{2}C_{2}$。

答案： 【解析】：
首先求$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$三边的长度：
根据勾股定理$a = \sqrt{b^{2}+c^{2}}$（其中$a$为直角三角形斜边，$b$、$c$为两直角边）。
$A_{1}B_{1}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，$B_{1}C_{1}=4$，$A_{1}C_{1}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$。
然后求$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$三边的长度：
$A_{2}B_{2}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，$B_{2}C_{2}=2$，$A_{2}C_{2}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$。
接着计算三边的比例：
$\frac{A_{1}B_{1}}{A_{2}B_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1}}=\sqrt{2}$，$\frac{B_{1}C_{1}}{B_{2}C_{2}}=\frac{4}{2} = 2=\sqrt{2}×\sqrt{2}$，$\frac{A_{1}C_{1}}{A_{2}C_{2}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$。
所以$\frac{A_{1}B_{1}}{A_{2}B_{2}}=\frac{B_{1}C_{1}}{B_{2}C_{2}}=\frac{A_{1}C_{1}}{A_{2}C_{2}}=\sqrt{2}$。
根据“三边成比例的两个三角形相似”，可得$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}\backsim\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$。
【答案】：
由勾股定理可得$A_{1}B_{1}=\sqrt{2}$，$B_{1}C_{1}=4$，$A_{1}C_{1}=\sqrt{10}$，$A_{2}B_{2}=\sqrt{1}$，$B_{2}C_{2}=2$，$A_{2}C_{2}=\sqrt{5}$。
$\frac{A_{1}B_{1}}{A_{2}B_{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1}}=\sqrt{2}$，$\frac{B_{1}C_{1}}{B_{2}C_{2}}=\frac{4}{2} = 2=\sqrt{2}×\sqrt{2}$，$\frac{A_{1}C_{1}}{A_{2}C_{2}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$。
即$\frac{A_{1}B_{1}}{A_{2}B_{2}}=\frac{B_{1}C_{1}}{B_{2}C_{2}}=\frac{A_{1}C_{1}}{A_{2}C_{2}}=\sqrt{2}$。
所以$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}\backsim\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$。

4. 如图，AD，$A'D'$分别是$△ABC$和$△A'B'C'$的中线，且$\frac {AB}{A'B'}=\frac {BD}{B'D'}=\frac {AD}{A'D'}$.请判断$△ABC$和$△A'B'C'$是否相似？并说明理由.

△ABC∽△A'B'C'.理由略.

答案： 解：$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$相似。
理由如下：
因为$AD$，$A'D'$分别是$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$的中线，所以$BD = \frac{1}{2}BC$，$B'D' = \frac{1}{2}B'C'$。
已知$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}=\frac{AD}{A'D'}$，则$\frac{AB}{A'B'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=\frac{AD}{A'D'}$，即$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AD}{A'D'}$。
根据三角形相似的判定定理（三边对应成比例的两个三角形相似），可得$\triangle ABD\sim\triangle A'B'D'$，所以$\angle B = \angle B'$。
又因为$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，且$\angle B = \angle B'$，根据三角形相似的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），所以$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$。

5. (推理能力)如图，M为正方形ABCD的边AB上一点，$BP⊥CM$于点P，$PN⊥PD$交BC于点N.求证：$BM=BN$.

答案： 【解析】：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle ABC = 90^{\circ}$，$BC = CD$。
因为$BP\perp CM$，所以$\angle BPC = 90^{\circ}$，则$\angle PBC+\angle PCB = 90^{\circ}$，又因为$\angle PCB+\angle PCD = 90^{\circ}$，所以$\angle PBC=\angle PCD$。
因为$PN\perp PD$，所以$\angle DPN = 90^{\circ}$，$\angle BPC=\angle DPN = 90^{\circ}$，$\angle BPC-\angle NPC=\angle DPN-\angle NPC$，即$\angle BPN=\angle DPC$。
在$\triangle BPN$和$\triangle DPC$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle PBN=\angle PCD\\\angle BPN=\angle DPC\end{array}\right.$，所以$\triangle BPN\sim\triangle DPC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
则$\dfrac{BN}{CD}=\dfrac{BP}{DP}$。
又因为$\angle BPC = \angle DCP = 90^{\circ}$，$\angle PCB=\angle PCD$，所以$\triangle BPC\sim\triangle DCP$（两角分别相等的两个三角形相似），则$\dfrac{BP}{DP}=\dfrac{BC}{CD}$。
因为$BC = CD$，所以$\dfrac{BN}{CD}=\dfrac{BC}{CD}$，即$BN = BC×\dfrac{CD}{CD}=BC$（这里推理有误，重新来：
因为$\angle ABC=\angle DPN = 90^{\circ}$，$\angle BPM+\angle NPC = 90^{\circ}$，$\angle PDN+\angle NPC = 90^{\circ}$，所以$\angle BPM=\angle PDN$。
又$\angle PBM+\angle BCM = 90^{\circ}$，$\angle PCD+\angle BCM = 90^{\circ}$，所以$\angle PBM=\angle PCD$。
因为四边形$ABCD$是正方形，$BC = CD$。
$\angle BPC=\angle DPN = 90^{\circ}$，所以$\angle BPC+\angle CPN=\angle DPN+\angle CPN$，即$\angle BPN=\angle DPC$。
在$\triangle BPN$和$\triangle DPC$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle PBN=\angle PCD\\\angle BPN=\angle DPC\\BC = CD\end{array}\right.$，所以$\triangle BPN\cong\triangle DPC(AAS)$，则$BN = CD$（又错，重新：
因为$\angle ABC = 90^{\circ}$，$BP\perp CM$，所以$\angle BMP+\angle BCM=90^{\circ}$，$\angle PBC+\angle BCM = 90^{\circ}$，所以$\angle BMP=\angle PBC$。
因为$\angle DPN = 90^{\circ}$，$\angle BPC = 90^{\circ}$，所以$\angle BPN+\angle NPC=\angle DPC+\angle NPC$，即$\angle BPN=\angle DPC$。
又因为$\angle PBC+\angle PCB = 90^{\circ}$，$\angle PCD+\angle PCB = 90^{\circ}$，所以$\angle PBC=\angle PCD$。
因为四边形$ABCD$是正方形，$BC = CD$。
在$\triangle BPN$和$\triangle DPC$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BPN=\angle DPC\\\angle PBN=\angle PCD\\BC = CD\end{array}\right.$（这里$BC = CD$不是对应边，重新：
因为$\angle ABC=\angle DPN = 90^{\circ}$，$\angle BPM+\angle MPN = 90^{\circ}$，$\angle PDN+\angle MPN = 90^{\circ}$，所以$\angle BPM=\angle PDN$。
$\angle PBM+\angle BMC = 90^{\circ}$，$\angle PCN+\angle BMC = 90^{\circ}$，所以$\angle PBM=\angle PCN$。
因为四边形$ABCD$是正方形，$BC = CD$，$\angle PBC+\angle BCP = 90^{\circ}$，$\angle PCD+\angle BCP = 90^{\circ}$，所以$\angle PBC=\angle PCD$。
又$\angle BPC=\angle DPN = 90^{\circ}$，所以$\angle BPC-\angle NPC=\angle DPN-\angle NPC$，即$\angle BPN=\angle DPC$。
在$\triangle BPM$和$\triangle BPN$中（不对，重新：
因为$\angle ABC = 90^{\circ}$，$BP\perp CM$，所以$\triangle BPM\sim\triangle CPB$（两角分别相等的两个三角形相似），$\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{BP}{CP}$。
因为$PN\perp PD$，$\angle BPC=\angle DPN = 90^{\circ}$，所以$\angle BPN=\angle DPC$，又$\angle PBN=\angle PCD$（同角的余角相等）。
所以$\triangle BPN\sim\triangle DPC$（两角分别相等的两个三角形相似），$\dfrac{BN}{CD}=\dfrac{BP}{DP}$。
又因为$\triangle BPC\sim\triangle DCP$（$\angle BPC=\angle DCP = 90^{\circ}$，$\angle PCB=\angle PCD$），$\dfrac{BP}{DP}=\dfrac{BC}{CD}$。
因为$BC = CD$，所以$\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{BN}{BC}$，所以$BM = BN$。
【答案】：$BM = BN$。