《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

5. 关于x的一元二次方程$(a-6)x^{2}-8x+9=0$有实数根.
(1)求a的最大整数值.
(2)当a取最大整数值时,
①求出该方程的根;
②求$2x^{2}-\frac {32x-7}{x^{2}-8x+11}$的值.

答案： 5.
(1)a 的最大整数值为 7.
(2)①$x_{1}=4+\sqrt {7},x_{2}=4-\sqrt {7}$ ②$-\frac {29}{2}$

6. 已知关于x的一元二次方程$(x-3)(x-2)=p(p+1)$.试证明:无论p取何值,此方程总有两个实数根.

答案： 【解析】：本题可先将原方程化为一般形式，再根据判别式$\Delta$与$0$的大小关系来判断方程根的情况。
- **步骤一：将原方程化为一般形式**
将方程$(x - 3)(x - 2) = p(p + 1)$展开可得：
$x^2 - 2x - 3x + 6 = p^2 + p$
$x^2 - 5x + 6 - p^2 - p = 0$
即$x^2 - 5x - p^2 - p + 6 = 0$。
- **步骤二：计算判别式$\Delta$**
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。
在方程$x^2 - 5x - p^2 - p + 6 = 0$中，$a = 1$，$b = -5$，$c = -p^2 - p + 6$，则$\Delta = (-5)^2 - 4×1×(-p^2 - p + 6)$，化简该式：
$\begin{aligned}\Delta&= 25 + 4p^2 + 4p - 24\\&= 4p^2 + 4p + 1\\&=(2p + 1)^2\end{aligned}$
- **步骤三：根据判别式判断方程根的情况**
因为任何数的平方都为非负数，所以$(2p + 1)^2\geq0$，即$\Delta\geq0$。
当$\Delta\geq0$时，一元二次方程总有两个实数根，所以无论$p$取何值，此方程总有两个实数根。
【答案】：证明过程如上述解析所示，可得出无论$p$取何值，此方程总有两个实数根。

7. 定义:若一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$$(a≠0)$满足$b=a+c$,则称该方程为“和谐方程”.
(1)下列属于“和谐方程”的是①③.
①$x^{2}+2x+1=0$;②$x^{2}-2x+1=0$;
③$x^{2}+x=0.$
(2)求证:“和谐方程”总有实数根.
证明：对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。因为“和谐方程”满足$b = a + c$，将$b = a + c$代入判别式可得$\Delta=(a + c)^{2}-4ac=a^{2}+2ac + c^{2}-4ac=a^{2}-2ac + c^{2}=(a - c)^{2}$。由于$(a - c)^{2}\geq0$，即$\Delta\geq0$，所以“和谐方程”总有实数根。
(3)已知一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$$(a≠0)$为“和谐方程”，若该方程有两个相等的实数根,求a,c的数量关系.
$a = c$

答案： $(1)$ 判断哪些方程是“和谐方程”
根据“和谐方程”的定义$b = a + c$，分别对三个方程进行分析：
对于方程$x^{2}+2x + 1 = 0$，其中$a = 1$，$b = 2$，$c = 1$，因为$1 + 1=2$，即$b = a + c$，所以该方程是“和谐方程”。
对于方程$x^{2}-2x + 1 = 0$，其中$a = 1$，$b = -2$，$c = 1$，因为$1 + 1\neq - 2$，即$b\neq a + c$，所以该方程不是“和谐方程”。
对于方程$x^{2}+x = 0$，可化为$x^{2}+x+0 = 0$，其中$a = 1$，$b = 1$，$c = 0$，因为$1+0 = 1$，即$b = a + c$，所以该方程是“和谐方程”。
所以属于“和谐方程”的是$\boldsymbol{①③}$。
$(2)$ 证明“和谐方程”总有实数根
解（证明）：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
因为“和谐方程”满足$b = a + c$，将$b = a + c$代入判别式$\Delta$中，可得：
$\Delta=(a + c)^{2}-4ac$
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，则$(a + c)^{2}-4ac=a^{2}+2ac + c^{2}-4ac=a^{2}-2ac + c^{2}$。
再根据完全平方公式$(m - n)^2=m^2-2mn+n^2$，$a^{2}-2ac + c^{2}=(a - c)^{2}$。
因为任何数的平方都大于等于$0$，即$(a - c)^{2}\geq0$，所以$\Delta\geq0$。
当$\Delta\geq0$时，一元二次方程总有实数根，所以“和谐方程”总有实数根。
$(3)$ 求$a$，$c$的数量关系
解：
因为方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$是“和谐方程”，所以$b = a + c$。
又因为该方程有两个相等的实数根，所以$\Delta = 0$。
由$(2)$可知$\Delta=(a - c)^{2}$，则$(a - c)^{2}=0$。
根据平方根的性质，若$m^2 = 0$，则$m = 0$，所以$a - c = 0$，即$a = c$。
综上，答案依次为：$(1)\boldsymbol{①③}$；$(2)$见上述证明过程；$(3)\boldsymbol{a = c}$。

8. 已知关于x的一元二次方程$mx^{2}+(4m-2)x+4m-4=0$(m为常数,且$m≠0).$
(1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)若m为整数,且方程的两个实数根都是整数,求m的值.

答案： $(1)$ 证明方程总有两个不相等的实数根
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$mx^{2}+(4m - 2)x + 4m - 4 = 0$中，$a = m$，$b = 4m - 2$，$c = 4m - 4$。
则$\Delta=(4m - 2)^{2}-4m(4m - 4)$
$=16m^{2}-16m + 4-(16m^{2}-16m)$
$=16m^{2}-16m + 4 - 16m^{2}+16m$
$=4$。
因为$\Delta = 4\gt0$，所以方程总有两个不相等的实数根。
$(2)$ 求$m$的值
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$可得：
$x=\frac{-(4m - 2)\pm\sqrt{4}}{2m}=\frac{-4m + 2\pm2}{2m}$。
则$x_{1}=\frac{-4m + 2 + 2}{2m}=\frac{-4m + 4}{2m}=\frac{-2m + 2}{m}=-2+\frac{2}{m}$，$x_{2}=\frac{-4m + 2 - 2}{2m}=\frac{-4m}{2m}=-2$。
因为$m$为整数，且方程的两个实数根都是整数，所以$m$为$2$的因数。
$2$的因数有$\pm1$，$\pm2$。
当$m = 1$时，$x_{1}=-2 + 2=0$，符合题意；
当$m=-1$时，$x_{1}=-2-2=-4$，符合题意；
当$m = 2$时，$x_{1}=-2 + 1=-1$，符合题意；
当$m=-2$时，$x_{1}=-2-1=-3$，符合题意。
综上，$m$的值为$\pm1$，$\pm2$。