《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. [2022·哈尔滨]如图,$AB// CD$,AC,BD相交于点E,$AE=1,EC=2,DE=3$,则BD的长为 (C)

A. $\frac {3}{2}$
B. 4
C. $\frac {9}{2}$
D. 6

答案： C

2. [2023·北京]如图,直线AD,BC相交于点O,$AB// EF// CD$.若$AO=2,OF=1,FD=2$,则$\frac {BE}{EC}$的值为____$\frac{3}{2}$.

答案： $\frac{3}{2}$

3. [2023·哈尔滨]如图,AC,BD相交于点O,$AB// DC$,M是AB的中点,$MN// AC$,交BD于点N.若$DO:OB=1:2,AC=12$,则MN的长为 (B)

A. 2
B. 4
C. 6
D. 8

答案： B

4. 如图是一架梯子的示意图,其中$AA_{1}// BB_{1}// CC_{1}// DD_{1}$,且$AB=BC=CD$.为使其更稳固,在A,$D_{1}$之间加绑一条安全绳(线段$AD_{1}$),量得$AE=0.4m$,则$AD_{1}=$1.2m.

答案： 1.2

5. 如图,在$△ABC$中,D为边BC上一点,已知$\frac {BD}{DC}=\frac {5}{3}$,E为AD的中点,延长BE交AC于点F,求$\frac {AF}{AC}$的值.

$\frac{AF}{AC}=$$\frac{5}{13}$

答案： 1. 过点$D$作$DG// BF$交$AC$于点$G$：
因为$DG// BF$，根据平行线分线段成比例定理。
在$\triangle BCD$中，由$DG// BF$，可得$\frac{CF}{FG}=\frac{CD}{BD}$。
已知$\frac{BD}{DC}=\frac{5}{3}$，则$\frac{CD}{BD}=\frac{3}{5}$，即$\frac{CF}{FG}=\frac{3}{5}$。
在$\triangle ADG$中，因为$E$为$AD$的中点，且$EF// DG$（$EF$与$DG$都平行于$BF$），根据中位线定理（经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边）。
所以$AF = FG$。
2. 设$CF = 3x$，$FG = 5x$：
因为$AF = FG$，所以$AF = 5x$。
那么$AC=AF + FG+CF$。
把$AF = 5x$，$FG = 5x$，$CF = 3x$代入可得$AC=5x + 5x+3x=13x$。
所以$\frac{AF}{AC}=\frac{5x}{13x}=\frac{5}{13}$。
另一种方法（向量法）：
1. 设$\overrightarrow{BA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$，$\frac{AF}{AC}=\lambda$，则$\overrightarrow{AF}=\lambda\overrightarrow{AC}$：
因为$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\vec{b}-\vec{a}$，所以$\overrightarrow{AF}=\lambda(\vec{b}-\vec{a})$。
又因为$\frac{BD}{DC}=\frac{5}{3}$，所以$\overrightarrow{BD}=\frac{5}{8}\overrightarrow{BC}=\frac{5}{8}\vec{b}$。
由于$E$为$AD$中点，所以$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD})$。
而$\overrightarrow{BE}$与$\overrightarrow{BF}$共线，$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}=\vec{a}+\lambda(\vec{b}-\vec{a})=(1 - \lambda)\vec{a}+\lambda\vec{b}$，$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\frac{5}{8}\vec{b})=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{5}{16}\vec{b}$。
根据向量共线定理，若$\overrightarrow{BE}=k\overrightarrow{BF}$（$k$为实数），则$\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{5}{16}\vec{b}=k[(1 - \lambda)\vec{a}+\lambda\vec{b}]$。
可得$\left\{\begin{array}{l}k(1 - \lambda)=\frac{1}{2}\\k\lambda=\frac{5}{16}\end{array}\right.$，由$k(1 - \lambda)=\frac{1}{2}$得$k=\frac{1}{2(1 - \lambda)}$，代入$k\lambda=\frac{5}{16}$中：
$\frac{\lambda}{2(1 - \lambda)}=\frac{5}{16}$。
交叉相乘得$16\lambda = 10(1 - \lambda)$。
展开$16\lambda=10 - 10\lambda$。
移项$16\lambda+10\lambda = 10$，即$26\lambda = 10$。
解得$\lambda=\frac{5}{13}$。
综上，$\frac{AF}{AC}$的值为$\frac{5}{13}$。

6. (推理能力)如图,在$△ABC$中,AD与BE相交于点G,且$\frac {AG}{DG}=4,\frac {CD}{BD}=\frac {3}{2}$.
(1)求$\frac {AE}{CE}$的值;$\frac{8}{5}$
(2)若$CE=5cm$,求AC的长.13cm

答案： 1. （1）
解：过点$D$作$DF// BE$交$AC$于点$F$。
因为$DF// BE$，根据平行线分线段成比例定理：
在$\triangle CDF$和$\triangle CBE$中，$\frac{CF}{EF}=\frac{CD}{BD}$，已知$\frac{CD}{BD}=\frac{3}{2}$，即$\frac{CF}{EF}=\frac{3}{2}$，设$CF = 3x$，则$EF = 2x$。
在$\triangle AGE$和$\triangle ADF$中，因为$DF// BE$，所以$\frac{AE}{EF}=\frac{AG}{DG}$。
已知$\frac{AG}{DG}=4$，则$\frac{AE}{EF}=4$，又因为$EF = 2x$，所以$AE = 8x$。
那么$\frac{AE}{CE}=\frac{AE}{CF + EF}=\frac{8x}{3x+2x}=\frac{8}{5}$。
2. （2）
解：已知$CE = 5cm$，由（1）知$\frac{AE}{CE}=\frac{8}{5}$，设$AE = y$，则$\frac{y}{5}=\frac{8}{5}$，解得$y = 8cm$。
因为$AC=AE + CE$，所以$AC=8 + 5=13cm$。
综上，（1）$\frac{AE}{CE}$的值为$\frac{8}{5}$；（2）$AC$的长为$13cm$。