《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 位似多边形及其相关概念
位似多边形:一般地,如果两个相似多边形任意一组对应顶点 $ P,P' $ 所在的直线都经过同一点 $ O $,且有 $ OP' = k\cdot OP(k\neq 0) $,那么这样的两个多边形叫做位似多边形,点 $ O $ 叫做位似中心.实际上,$ k $ 就是这两个相似多边形的相似比.如图,每组中的两个五边形都是相似五边形.

答案： 位似多边形 位似中心

2. 平面直角坐标系中的位似变换
规 律:在平面直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数 $ k(k\neq 0) $,所对应的图形与原图形位似,位似中心是坐标原点,它们的相(位)似比为|k|.
性 质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

答案： 坐标原点 $ |k| $

例1 图中的两个四边形是位似多边形,它们的位似中心是 (D)

A. 点 $ M $
B. 点 $ N $
C. 点 $ O $
D. 点 $ P $

答案： D

例2 如图,将 $ \triangle ABC $ 的三边扩大为原来的 2 倍,并说明理由.

解：1. 首先画一条射线$BM$，在$BM$上依次截取$BD = 2BC$。
2. 然后以$B$为圆心，$2AB$长为半径画弧；以$D$为圆心，$2AC$长为半径画弧，两弧交于点$E$。
3. 最后连接$BE$、$DE$，则$\triangle BDE$就是$\triangle ABC$三边扩大为原来$2$倍后的三角形。理由是根据三角形全等判定定理（边边边），三边对应成比例（比例为$2:1$）的两个三角形相似，这里通过作图使得三边长度为原三角形三边的$2$倍。

答案： 【解析】：
1. 首先画一条射线$BM$，在$BM$上依次截取$BD = 2BC$。
2. 然后以$B$为圆心，$2AB$长为半径画弧；以$D$为圆心，$2AC$长为半径画弧，两弧交于点$E$。
3. 最后连接$BE$、$DE$，则$\triangle BDE$就是$\triangle ABC$三边扩大为原来$2$倍后的三角形。理由是根据三角形全等判定定理（边边边），三边对应成比例（比例为$2:1$）的两个三角形相似，这里通过作图使得三边长度为原三角形三边的$2$倍。
【答案】：按照上述步骤画出的$\triangle BDE$即为所求。

例3 在平面直角坐标系中,已知点 $ E(-4,2),F(-2,-2) $,以原点 $ O $ 为位似中心,相似比为 $ \frac{1}{2} $,把 $ \triangle EFO $ 缩小,则点 $ E $ 的对应点 $ E' $ 的坐标是 (D)
A. $ (-2,1) $
B. $ (-8,4) $
C. $ (-8,4) $或 $ (8,-4) $
D. $ (-2,1) $或 $ (2,-1) $

答案： D

1. 如图,已知 $ \triangle EFH $ 和 $ \triangle MNK $ 是位似图形,那么其位似中心是 (B)

A. 点 $ A $
B. 点 $ B $
C. 点 $ C $
D. 点 $ D $

答案： B