《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. [2023秋·铁西区期中]若$\frac {a}{2}=\frac {b}{3}=\frac {c}{4}≠0$，则$\frac {a-2c}{a-2b}=$$\frac{3}{2}$.

答案： $\frac{3}{2}$

2. [2022秋·和平区校级期中]如图，在$\triangle ABC$中，D是边AB的中点，点E在BC边上，且$\frac {BE}{CE}=\frac {3}{2}$，CD与AE相交于点F，则$\frac {DF}{CF}$的值为____$\frac{3}{4}$.

答案： $\frac{3}{4}$

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$BD⊥AB$，BD，AC相交于点D，$AD=\frac {4}{7}AC$，$AB=2$，$∠ABC=150^{\circ }$，则$\triangle DBC$的面积是（A）

A. $\frac {3\sqrt {3}}{14}$
B. $\frac {9\sqrt {3}}{14}$
C. $\frac {3\sqrt {3}}{7}$
D. $\frac {6\sqrt {3}}{7}$

答案： A

4. 如图，在$\triangle ABC$中，D是边AB上一点.
(1)当$∠ACD=∠B$时，
①求证：$\triangle ABC\backsim \triangle ACD$；
②若$AD=1$，$BD=3$，求AC的长.2
(2)已知$AB=\sqrt {2}AC=2AD$，若$CD=2$，求BC的长.$2\sqrt{2}$

答案： 1. （1）①
证明：
在$\triangle ABC$和$\triangle ACD$中，$\angle A=\angle A$（公共角），$\angle ACD = \angle B$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，即$\angle A=\angle A$，$\angle B=\angle ACD$，所以$\triangle ABC\backsim\triangle ACD$。
②
解：
因为$\triangle ABC\backsim\triangle ACD$，所以$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$。
已知$AD = 1$，$BD = 3$，则$AB=AD + BD=1 + 3=4$。
由$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$可得$AC^{2}=AD\cdot AB$。
把$AD = 1$，$AB = 4$代入$AC^{2}=AD\cdot AB$，得$AC^{2}=1×4$，所以$AC = 2$。
2. （2）
解：
已知$AB=\sqrt{2}AC = 2AD$，设$AD=x$，则$AC=\sqrt{2}x$，$AB = 2x$。
所以$\frac{AD}{AC}=\frac{x}{\sqrt{2}x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}x}{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$。
又因为$\angle A=\angle A$，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，所以$\triangle ACD\backsim\triangle ABC$。
则$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
已知$CD = 2$，由$\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得$BC=\frac{2CD}{\sqrt{2}}$。
把$CD = 2$代入$BC=\frac{2CD}{\sqrt{2}}$，得$BC=\frac{2×2}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。
综上，（1）①证明见上述过程；②$AC = 2$；（2）$BC = 2\sqrt{2}$。