《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

2. 如图，四边形$ABCD$是菱形，延长$BC$到点$E$，使$BE=BD$，连接$DE$．若$\angle ABC=80^{\circ }$，则$\angle E$的度数是（C）

A. $60^{\circ }$
B. $65^{\circ }$
C. $70^{\circ }$
D. $80^{\circ }$

答案： C

3. 如图，已知四边形$ABCD$的四边相等，等边$\triangle AMN$的顶点$M$，$N$分别在$BC$，$CD$上，且$AM=AB$，则$\angle C$的度数为（A）

A. $100^{\circ }$
B. $105^{\circ }$
C. $110^{\circ }$
D. $120^{\circ }$

答案： A

1. [2023·西藏]如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知$\angle ABC=60^{\circ }$，则阴影部分的面积是（D）

A. $\frac {9}{2}$
B. $3\sqrt {3}$
C. $\frac {9\sqrt {3}}{2}$
D. $6\sqrt {3}$

答案： D

2. 如图，在平行四边形$ABCD$中，$AE\perp BC$于点$E$，$AF\perp CD$于点$F$，且$BE=DF$，连接$AC$．
(1)求证：平行四边形$ABCD$是菱形；
(2)8连接$BD$，若$AB=5$，$AC=6$，则$BD$的长为______．

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$\angle B=\angle D$。
又因为$AE\perp BC$，$AF\perp CD$，所以$\angle AEB = \angle AFD=90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ADF$中，$\begin{cases}\angle AEB=\angle AFD\\\angle B = \angle D\\BE = DF\end{cases}$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABE\cong\triangle ADF$。
所以$AB = AD$。
因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形$ABCD$是菱形。
2. （2）
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AC\perp BD$，$AO=\frac{1}{2}AC$，$BO=\frac{1}{2}BD$（菱形的对角线互相垂直且平分）。
已知$AC = 6$，则$AO=\frac{1}{2}×6 = 3$。
又因为$AB = 5$，在$Rt\triangle ABO$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$c = AB$，$a = AO$，$b = BO$），可得$BO=\sqrt{AB^{2}-AO^{2}}$。
把$AB = 5$，$AO = 3$代入$BO=\sqrt{AB^{2}-AO^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$。
因为$BD = 2BO$，所以$BD=8$。
故答案为$8$。

3. [2023秋·沈阳期中]如图，在$□ ABCD$中，$AD\perp BD$，$E$，$F$分别为边$AB$，$CD$的中点，连接$DE$，$BF$．
(1)求证：四边形$DEBF$是菱形；
(2)若$\angle A=60^{\circ }$，$AD=5$，求四边形$BFDE$的面积．

(1)略
(2)四边形$BFDE$的面积为$\frac{25\sqrt{3}}{2}$。

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AB = CD$。
又因为$E$，$F$分别为边$AB$，$CD$的中点，所以$DF=\frac{1}{2}CD$，$BE=\frac{1}{2}AB$，则$DF = BE$。
又$DF// BE$，所以四边形$DEBF$是平行四边形。
因为$AD\perp BD$，$E$为$AB$的中点，根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，所以$DE=\frac{1}{2}AB = BE$。
一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形$DEBF$是菱形。
2. （2）解：
因为$AD\perp BD$，$\angle A = 60^{\circ}$，$AD = 5$，在$Rt\triangle ABD$中，$\angle ABD=30^{\circ}$。
根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，设$AD = x$，$AB = 2x$，由勾股定理$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}$，把$AD = 5$代入可得$BD=\sqrt{(2×5)^{2}-5^{2}}=\sqrt{100 - 25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$。
因为$E$为$AB$中点，$F$为$CD$中点，$AB = CD$，$AB// CD$，四边形$DEBF$是菱形。
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× AD× BD=\frac{1}{2}×5×5\sqrt{3}=\frac{25\sqrt{3}}{2}$。
又因为$S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}$（等底等高），$S_{\triangle BCF}=\frac{1}{2}S_{\triangle BCD}$，$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle BCD}$（平行四边形对角线把平行四边形分成面积相等的两部分）。
所以$S_{四边形BFDE}=S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× AD× BD$。
把$AD = 5$，$BD = 5\sqrt{3}$代入得$S_{四边形BFDE}=\frac{1}{2}×5×5\sqrt{3}=\frac{25\sqrt{3}}{2}$。
综上，（1）四边形$DEBF$是菱形得证；（2）四边形$BFDE$的面积为$\frac{25\sqrt{3}}{2}$。