《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. [2023·宁夏]如图,在边长为2的正方形ABCD中,点E在AD上,连接EB,EC,则图中阴影部分的面积是2.

答案： 2

2. [2023·怀化]如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,PE⊥AD于点E,PE=3,则点P到直线AB的距离为3.

答案： 3

3. 如图,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使AE=AC,连接CE,则∠BCE的度数是22.5°.

答案： $22.5^{\circ }$

4. 如图,在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE,则∠BED的度数为$45^{\circ }$.

答案： $45^{\circ }$

1. [2022·青岛]如图,O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长为 (B)

A. $\frac{\sqrt{6}}{2}$
B. $\sqrt{6}$
C. $2\sqrt{2}$
D. $2\sqrt{3}$

答案： B

2. [2022·重庆A卷]如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,F是边AB上一点,连接DF.若BE=AF,则∠CDF的度数为 (C)

A. $45^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $67.5^{\circ}$
D. $77.5^{\circ}$

答案： C

3. 如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为(2,3),则点F的坐标为(-1,5).

答案： $(-1,5)$

4. [2022·雅安]如图,E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,且BE=DF.
(1)求证:△ABE≌△CDF;略
(2)若AB=3$\sqrt{2}$,BE=2,求四边形AECF的面积.$S_{四边形AECF}=6$

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = CD$，$\angle ABD=\angle CDB = 45^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = CD\\\angle ABE=\angle CDF\\BE = DF\end{array}\right.$。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle CDF$。
2. （2）解：
连接$AC$交$BD$于点$O$。
因为四边形$ABCD$是正方形，$AB = 3\sqrt{2}$，根据正方形的性质$AB^{2}+AD^{2}=BD^{2}$（勾股定理），且$AB = AD$，所以$BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{2AB^{2}}=\sqrt{2×(3\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{2×18}=6$。
又因为正方形对角线互相垂直且平分，$AC\perp BD$，$OA = OC$，$OB = OD$，$AC = BD = 6$。
已知$BE = DF = 2$，则$EF=BD - BE - DF=6-(2 + 2)=2$。
四边形$AECF$的面积$S=\frac{1}{2}AC\cdot EF$（对角线互相垂直的四边形面积公式$S=\frac{1}{2}d_1d_2$，这里$d_1 = AC$，$d_2 = EF$）。
把$AC = 6$，$EF = 2$代入公式得$S=\frac{1}{2}×6×2 = 6$。
综上，（1）已证$\triangle ABE\cong\triangle CDF$；（2）四边形$AECF$的面积为$6$。