《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. [2024·内蒙古]如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以下条件不能证明□ABCD是菱形的是 (D)

A. ∠BAC=∠BCA
B. ∠ABD=∠CBD
C. OA²+OD²=AD²
D. AD²+OA²=OD²

答案： D

2. [2023·齐齐哈尔]如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：AD//BC，使四边形ABCD成为菱形.

答案： $ AD // BC $（或 $ AB = CD $ 或 $ OB = OD $ 或 $ \angle ADB = \angle CBD $ 等）

1. 如图，下列条件：①AB=BC=CD=DA；②AC，BD互相垂直平分；③在□ABCD中，AC⊥BD；④在□ABCD中，AC=BD.能判定四边形ABCD为菱形的有 (C)

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： C

2. [2023秋·沈阳月考]如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC.求证：四边形ABCD是菱形.

证明：在$\triangle ADE$和$\triangle CDE$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = CD\\DE = DE\\EA = EC\end{array}\right.$，$\therefore\triangle ADE\cong\triangle CDE$(SSS)，$\therefore\angle ADE=\angle CDE$.
$\because AD// BC$，$\therefore\angle ADE=\angle CBD$，$\therefore\angle CDE=\angle CBD$，$\therefore$BC=CD.
$\because AD = CD$，$\therefore$AD=BC，又$AD// BC$，$\therefore$四边形ABCD是平行四边形.
$\because AD = CD$，$\therefore$平行四边形ABCD是菱形.

答案： 【解析】：
首先证明$\triangle ADE\cong\triangle CDE$：
在$\triangle ADE$和$\triangle CDE$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = CD\\DE = DE\\EA = EC\end{array}\right.$，根据$SSS$（边 - 边 - 边）全等判定定理，可得$\triangle ADE\cong\triangle CDE$。
由$\triangle ADE\cong\triangle CDE$，根据全等三角形的性质，可得$\angle ADE=\angle CDE$。
因为$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，所以$\angle ADE=\angle CBD$。
从而$\angle CDE=\angle CBD$，根据等角对等边，可得$BC = CD$。
又因为$AD = CD$，所以$AD = BC$。
已知$AD// BC$且$AD = BC$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$ABCD$是平行四边形。
又因为$AD = CD$，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形$ABCD$是菱形。
【答案】：
在$\triangle ADE$和$\triangle CDE$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = CD\\DE = DE\\EA = EC\end{array}\right.$，$\therefore\triangle ADE\cong\triangle CDE(SSS)$，$\therefore\angle ADE=\angle CDE$。
$\because AD// BC$，$\therefore\angle ADE=\angle CBD$，$\therefore\angle CDE=\angle CBD$，$\therefore BC = CD$。
$\because AD = CD$，$\therefore AD = BC$，又$AD// BC$，$\therefore$四边形$ABCD$是平行四边形。
$\because AD = CD$，$\therefore$平行四边形$ABCD$是菱形。

3. [2023·湘西州]如图，四边形ABCD是平行四边形，BM//DN，且分别交对角线AC于点M，N，连接MD，NB.
(1)求证：∠DMN=∠BNM；
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AB//CD，所以∠BAM=∠DCN。又因为BM//DN，所以∠BMA=∠DNC。在△ABM和△CDN中，{∠BAM=∠DCN，∠BMA=∠DNC，AB=CD}，所以△ABM≌△CDN(AAS)，所以BM=DN。又因为BM//DN，所以四边形BMDN是平行四边形，所以MD//BN，所以∠DMN=∠BNM。
(2)若∠BAC=∠DAC，求证：四边形BMDN是菱形.
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB//CD，所以∠BAC=∠DCA。又因为∠BAC=∠DAC，所以∠DAC=∠DCA，所以AD=CD，所以平行四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC。由(1)知四边形BMDN是平行四边形，又因为BD⊥MN(AC与MN共线)，所以四边形BMDN是菱形。

答案： 【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AB// CD$，则$\angle BAM=\angle DCN$。
又因为$BM// DN$，所以$\angle BMA=\angle DNC$。
在$\triangle ABM$和$\triangle CDN$中，$\begin{cases}\angle BAM=\angle DCN\\\angle BMA=\angle DNC\\AB = CD\end{cases}$，根据$AAS$（角角边）定理可得$\triangle ABM\cong\triangle CDN$。
所以$BM = DN$，又因为$BM// DN$，所以四边形$BMDN$是平行四边形。
根据平行四边形的性质，平行四边形的对边平行，即$MD// BN$，所以$\angle DMN=\angle BNM$。
(2) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，则$\angle BAC=\angle DCA$。
又因为$\angle BAC=\angle DAC$，所以$\angle DAC=\angle DCA$，所以$AD = CD$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以四边形$ABCD$是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），所以$BD\perp AC$。
由
(1)知四边形$BMDN$是平行四边形，又因为$BD\perp MN$（$AC$与$MN$共线），根据菱形的判定定理（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），所以四边形$BMDN$是菱形。
【答案】：
(1) 证明见上述解析过程，可证得$\angle DMN=\angle BNM$。
(2) 证明见上述解析过程，可证得四边形$BMDN$是菱形。

4. (推理能力)如图，在□ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是AD边上的动点，连接EG并延长，交BC的延长线于点F，连接CE，DF.
(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；
(2)当AE=4cm时，四边形CEDF是菱形.

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$CF// ED$。
则$\angle FCG=\angle EDG$，又因为$G$是$CD$的中点，所以$CG = DG$。
在$\triangle FCG$和$\triangle EDG$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle FCG=\angle EDG\\CG = DG\\\angle CGF=\angle DGE\end{array}\right.$（对顶角相等）。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，可得$\triangle FCG\cong\triangle EDG$。
所以$FG = EG$。
又因为$CG = DG$（对角线互相平分的四边形是平行四边形），所以四边形$CEDF$是平行四边形。
2. （2）
当四边形$CEDF$是菱形时，$CE = ED$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，$AB = 6cm$，$BC = 10cm$，$\angle B = 60^{\circ}$，过$C$作$CH\perp AD$于$H$。
在平行四边形$ABCD$中，$AD = BC = 10cm$，$CD = AB = 6cm$，$\angle CDH=\angle B = 60^{\circ}$。
在$Rt\triangle CDH$中，$\sin\angle CDH=\frac{CH}{CD}$，$\cos\angle CDH=\frac{DH}{CD}$。
所以$CH = CD\sin60^{\circ}=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}cm$，$DH = CD\cos60^{\circ}=6×\frac{1}{2}=3cm$。
设$AE=x cm$，则$ED=(10 - x)cm$，$EH=(10 - x - 3)=(7 - x)cm$。
因为$CE = ED$，在$Rt\triangle CEH$中，根据勾股定理$CE^{2}=CH^{2}+EH^{2}$，即$(10 - x)^{2}=(3\sqrt{3})^{2}+(7 - x)^{2}$。
展开得$100-20x+x^{2}=27 + 49-14x+x^{2}$。
移项得$100-20x+x^{2}-x^{2}+14x - 27 - 49 = 0$。
合并同类项得$-6x+24 = 0$。
解得$x = 4$。
故答案为：（1）见上述证明过程；（2）$4$。