《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

14. (10分)已知关于x的一元二次方程$k^{2}x^{2}+2(k-1)x+1=0$有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若方程的一个实数根是2,求k的值.

答案： 1. （1）
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$k^{2}x^{2}+2(k - 1)x + 1 = 0$中，$a = k^{2}$，$b = 2(k - 1)$，$c = 1$。
因为方程有两个不相等的实数根，所以$\begin{cases}k^{2}\neq0\\\Delta＞0\end{cases}$。
先计算$\Delta$：
$\Delta=[2(k - 1)]^{2}-4k^{2}×1$
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，$[2(k - 1)]^{2}=4(k^{2}-2k + 1)=4k^{2}-8k + 4$。
则$\Delta=4k^{2}-8k + 4-4k^{2}$。
化简得$\Delta=-8k + 4$。
由$\Delta＞0$，即$-8k + 4＞0$，移项得$-8k＞-4$，两边同时除以$-8$，不等号方向改变，得$k＜\frac{1}{2}$。
又因为$k^{2}\neq0$，即$k\neq0$。
所以$k$的取值范围是$k＜\frac{1}{2}$且$k\neq0$。
2. （2）
因为方程的一个实数根是$2$，把$x = 2$代入方程$k^{2}x^{2}+2(k - 1)x + 1 = 0$中，得到：
$k^{2}×2^{2}+2(k - 1)×2+1 = 0$。
即$4k^{2}+4(k - 1)+1 = 0$。
展开括号得$4k^{2}+4k-4 + 1 = 0$。
整理得$4k^{2}+4k-3 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a = 4,b = 4,c=-3)$，根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，这里$k=\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4×4×(-3)}}{2×4}$。
先计算根号内的值：$4^{2}-4×4×(-3)=16 + 48 = 64$。
则$k=\frac{-4\pm\sqrt{64}}{8}=\frac{-4\pm8}{8}$。
当$k=\frac{-4 + 8}{8}$时，$k=\frac{1}{2}$；当$k=\frac{-4-8}{8}$时，$k=-\frac{3}{2}$。
又因为$k＜\frac{1}{2}$且$k\neq0$，所以$k=-\frac{3}{2}$。
综上，（1）$k$的取值范围是$k＜\frac{1}{2}$且$k\neq0$；（2）$k$的值为$-\frac{3}{2}$。

15. (10分)已知一元二次方程$x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+k=0$.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若$\triangle ABC$的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5,当$\triangle ABC$是等腰三角形时,求k的值.

答案： $(1)$ 证明方程有两个不相等的实数根
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在方程$x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0$中，$a = 1$，$b=-(2k + 1)$，$c = k^{2}+k$。
则$\Delta =[-(2k + 1)]^{2}-4×1×(k^{2}+k)$
$=(2k + 1)^{2}-4(k^{2}+k)$
根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，这里$m = 2k$，$n = 1$，则$(2k + 1)^{2}=4k^{2}+4k + 1$。
所以$\Delta=4k^{2}+4k + 1-4k^{2}-4k$
$=1\gt0$。
所以方程有两个不相等的实数根。
$(2)$ 求$k$的值
解一元二次方程$x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0$，
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，这里$\Delta = 1$，$a = 1$，$b=-(2k + 1)$，则：
$x=\frac{(2k + 1)\pm1}{2}$。
当取$+$时，$x_1=\frac{(2k + 1)+1}{2}=\frac{2k + 2}{2}=k + 1$；
当取$-$时，$x_2=\frac{(2k + 1)-1}{2}=\frac{2k}{2}=k$。
因为$\triangle ABC$是等腰三角形，$BC = 5$，$AB$，$AC$是方程的两个根。
情况一：$AB = AC$
由$(1)$知$\Delta=1\neq0$，所以$AB\neq AC$，此情况不成立。
情况二：$AB = BC = 5$或$AC = BC = 5$
若$k = 5$，则另一个根为$k + 1=5 + 1 = 6$，此时三角形三边为$5$，$5$，$6$，满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，$5 + 5\gt6$，$5+6\gt5$）。
若$k + 1=5$，则$k = 4$，此时另一个根$k = 4$，三角形三边为$5$，$5$，$4$，满足三角形三边关系（$5 + 5\gt4$，$5+4\gt5$）。
综上，$k$的值为$4$或$5$。

16. (10分)某校举办了“冰雪运动进校园”活动,计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场.如图所示,已知空地长27m、宽12m,矩形冰场的长与宽的比为4:3,如果要使冰场的面积是原空地面积的$\frac {2}{3}$,并且预留的上、下通道的宽度相等,左、中、右通道的宽度相等,那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是$\frac{3}{2}$米和1米?

答案： 1. 设矩形冰场的长为$4x m$，宽为$3x m$：
已知空地面积$S = 27×12$，冰场面积是原空地面积的$\frac{2}{3}$，则两块冰场的面积$2×4x×3x=\frac{2}{3}×27×12$。
化简方程$2×4x×3x=\frac{2}{3}×27×12$：
先计算右边$\frac{2}{3}×27×12 = 216$，左边$2×4x×3x = 24x^{2}$，所以$24x^{2}=216$。
两边同时除以$24$得$x^{2}=9$，解得$x = 3$或$x=-3$（因为长度不能为负，舍去$x = - 3$）。
则冰场的长$4x = 12m$，冰场的宽$3x = 9m$。
2. 设上、下通道的宽度为$a m$，左、中、右通道的宽度为$b m$：
根据空地的长和宽与冰场及通道的关系列方程组：
$\begin{cases}2a + 9=12\\3b + 12=27\end{cases}$。
解第一个方程$2a+9 = 12$：
移项得$2a=12 - 9$，即$2a = 3$，解得$a=\frac{3}{2}$。
解第二个方程$3b + 12=27$：
移项得$3b=27 - 12$，即$3b = 15$，解得$b = 5$。
所以预留的上、下通道的宽度是$\frac{3}{2}m$，左、中、右通道的宽度是$5m$。