《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 下列命题是假命题的是 (D)
A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B. 对角线互相垂直的矩形是正方形
C. 对角线相等的菱形是正方形
D. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形

答案： 1. D

2. 在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是 (D)
A. AC=BD
B. AB=CD
C. AD=BC
D. BC=CD

答案： 2. D

3. 在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
(1)若AB=BC，则□ABCD是菱形；
(2)若AC=BD，则□ABCD是矩形；
(3)若∠BCD=90°，则□ABCD是矩形；
(4)若OA=OB，且OA⊥OB，则□ABCD是正方形；
(5)若AB=BC，且AC=BD，则□ABCD是正方形.

答案： 3.
(1)菱形
(2)矩形
(3)矩形
(4)正方形
(5)正方形

1. [2023·十堰]如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化.下面判断错误的是 (C)

A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B. 对角线BD的长度变短
C. 四边形ABCD的面积不变
D. 四边形ABCD的周长不变

答案： 1. C

2. 如图，在矩形ABCD中，E是对角线BD上一点，∠BAE=∠BCE，∠AEB=∠CEB.
求证：四边形ABCD是正方形.

证明：在△ABE和△CBE中，
$\begin{cases}\angle BAE=\angle BCE\\\angle AEB=\angle CEB\\BE = BE\end{cases}$，
所以△ABE≌△CBE(AAS)，则AB=CB。
因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90°，AB=CD，AD=BC，AB//CD，AD//BC。
又AB=CB，所以AB=BC=CD=DA。
所以矩形ABCD是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。

答案： 【解析】：
本题可先证明$\triangle ABE\cong\triangle CBE$，再根据全等三角形的性质得到$AB = CB$，最后结合矩形的性质证明四边形$ABCD$是正方形。
- **步骤一：证明$\triangle ABE\cong\triangle CBE$**
已知$\angle BAE=\angle BCE$，$\angle AEB=\angle CEB$，且$BE = BE$（公共边）。
根据全等三角形判定定理中的“角角边”（$AAS$），即两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，可得$\triangle ABE\cong\triangle CBE$。
- **步骤二：根据全等三角形的性质得到$AB = CB$**
因为$\triangle ABE\cong\triangle CBE$，根据全等三角形的对应边相等，所以$AB = CB$。
- **步骤三：证明四边形$ABCD$是正方形**
已知四边形$ABCD$是矩形，根据矩形的性质可知$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB// CD$，$AD// BC$，$AB = CD$，$AD = BC$。
又因为$AB = CB$，所以$AB = BC = CD = DA$。
根据正方形的判定定理：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形，可知四边形$ABCD$是正方形。
【答案】：
在$\triangle ABE$和$\triangle CBE$中，$\begin{cases}\angle BAE=\angle BCE\\\angle AEB=\angle CEB\\BE = BE\end{cases}$，所以$\triangle ABE\cong\triangle CBE(AAS)$，则$AB = CB$。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$\angle ABC = 90^{\circ}$，$AB = CD$，$AD = BC$，$AB// CD$，$AD// BC$。
又$AB = CB$，所以$AB = BC = CD = DA$。
所以矩形$ABCD$是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。

3. [2022·包头]如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在边AD，BC上，EF//AB，AE=AB，AF与BE相交于点O，连接OC.若BF=2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是 (A)

A. 2OC=$\sqrt 5$EF
B. $\sqrt 5$OC=2EF
C. 2OC=$\sqrt 3$EF
D. OC=EF

答案： 3. A