《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 用因式分解法解下列方程:
(1)$(x + 2)^{2} - 25 = 0$;$x_{1}=-7,x_{2}=3$
(2)$x(x - 7) = 8(7 - x)$;$x_{1}=7,x_{2}=-8$
(3)$x^{2} + 5 = 5(x + 1)$;$x_{1}=0,x_{2}=5$
2. 解下列方程:
(1)$4x^{2} + 1 = 4x$(用公式法);$x_{1}=x_{2}=\frac {1}{2}$
(2)$2(x - 3)^{2} = x^{2} - 9$(用因式分解法);$x_{1}=3,x_{2}=9$
(3)$(2x + 3)(x - 6) = 16$(用配方法);$x_{1}=\frac {9+\sqrt {353}}{4},x_{2}=\frac {9-\sqrt {353}}{4}$

答案： $(1)$ 解方程$(x + 2)^{2} - 25 = 0$
解：
根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，原方程可化为$(x + 2)^{2}-5^{2}=0$，即$(x + 2 + 5)(x + 2 - 5)=0$，也就是$(x + 7)(x - 3)=0$。
则$x + 7 = 0$或$x - 3 = 0$，
解得$x_{1}=-7$，$x_{2}=3$。
$(2)$ 解方程$x(x - 7) = 8(7 - x)$
解：
将方程变形为$x(x - 7)+8(x - 7)=0$，提取公因式$(x - 7)$得$(x - 7)(x + 8)=0$。
则$x - 7 = 0$或$x + 8 = 0$，
解得$x_{1}=7$，$x_{2}=-8$。
$(3)$ 解方程$x^{2} + 5 = 5(x + 1)$
解：
先将方程化为一般形式：$x^{2}+5 = 5x + 5$，移项得$x^{2}-5x=0$，提取公因式$x$得$x(x - 5)=0$。
则$x = 0$或$x - 5 = 0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=5$。
综上，$(1)$的解为$x_{1}=-7$，$x_{2}=3$；$(2)$的解为$x_{1}=7$，$x_{2}=-8$；$(3)$的解为$x_{1}=0$，$x_{2}=5$。

2. 解下列方程:
(1)$4x^{2} + 1 = 4x$(用公式法);
(2)$2(x - 3)^{2} = x^{2} - 9$(用因式分解法);
(3)$(2x + 3)(x - 6) = 16$(用配方法).

答案： 1. （1）
首先将方程$4x^{2}+1 = 4x$化为一般形式$ax^{2}+bx + c = 0$：
移项得$4x^{2}-4x + 1 = 0$，其中$a = 4$，$b=-4$，$c = 1$。
然后计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$：
$\Delta=(-4)^{2}-4×4×1$
$=16 - 16$
$=0$。
最后根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求解：
$x=\frac{4\pm\sqrt{0}}{2×4}=\frac{4\pm0}{8}$。
所以$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}$。
2. （2）
先将方程$2(x - 3)^{2}=x^{2}-9$进行变形：
因为$x^{2}-9=(x + 3)(x - 3)$，原方程可化为$2(x - 3)^{2}-(x + 3)(x - 3)=0$。
然后提取公因式$(x - 3)$：
$(x - 3)[2(x - 3)-(x + 3)] = 0$。
即$(x - 3)(2x-6 - x - 3)=0$。
进一步化简为$(x - 3)(x - 9)=0$。
最后根据“若$ab = 0$，则$a = 0$或$b = 0$”求解：
$x-3 = 0$或$x - 9 = 0$。
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=9$。
3. （3）
先将方程$(2x + 3)(x - 6)=16$化为一般形式：
展开得$2x^{2}-12x+3x - 18 = 16$。
整理得$2x^{2}-9x-34 = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2}-\frac{9}{2}x - 17 = 0$。
然后进行配方：
$x^{2}-\frac{9}{2}x=17$。
$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=17+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$。
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = x$，$b=\frac{9}{4}$，则$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=17+\frac{81}{16}$。
计算$17+\frac{81}{16}=\frac{272 + 81}{16}=\frac{353}{16}$。
最后求解：
$x-\frac{9}{4}=\pm\sqrt{\frac{353}{16}}$。
$x=\frac{9}{4}\pm\frac{\sqrt{353}}{4}$。
所以$x_{1}=\frac{9 + \sqrt{353}}{4}$，$x_{2}=\frac{9-\sqrt{353}}{4}$。
综上，（1）$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}$；（2）$x_{1}=3$，$x_{2}=9$；（3）$x_{1}=\frac{9 + \sqrt{353}}{4}$，$x_{2}=\frac{9-\sqrt{353}}{4}$。

3. 对于实数$a,b$,定义运算“$\odot$”如下:$a\odot b=(a + b)^{2} - (a - b)^{2}$.若$(m + 2)\odot(m - 3)=24$,则$m =$-3 或 4.

答案： -3 或 4

4. 小敏与小霞两位同学解方程$3(x - 3)=(x - 3)^{2}$的过程如下框:
小敏:×
两边同除以$(x - 3)$,得$3 = x - 3$,
则$x = 6$.
小霞:×
移项,得$3(x - 3) - (x - 3)^{2} = 0$,
提取公因式,得$(x - 3)\cdot(3 - x - 3) = 0$,
则$x - 3 = 0$或$3 - x - 3 = 0$,
解得$x_{1} = 3,x_{2} = 0$.
你认为他们的解法是否正确?若正确,请在框内打“√”;若错误,请在框内打“×”,并写出你的解答过程.
解答过程：移项，得$3(x - 3) - (x - 3)^{2} = 0$，提取公因式，得$(x - 3)(3 - (x - 3)) = 0$，即$(x - 3)(3 - x + 3) = 0$，则$x - 3 = 0$或$6 - x = 0$，解得$x_{1}=3$，$x_{2}=6$.

答案： 小敏：×；小霞：×。
解：移项，得$3(x - 3)-(x - 3)^{2}=0$，
提取公因式，得$(x - 3)(3-(x - 3)) = 0$，
即$(x - 3)(6 - x)=0$，
则$x - 3 = 0$或$6 - x = 0$，
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=6$。

5. (创新意识)已知关于$x$的一元二次方程$(a + c)x^{2} + 2bx + (a - c) = 0$,其中$a,b,c$分别为$\triangle ABC$三边的长.
(1)如果$x = - 1$是方程的根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由;$\triangle ABC$是等腰三角形
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由;$\triangle ABC$是直角三角形
(3)如果$\triangle ABC$是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.$x_{1}=0,x_{2}=-1$

答案： 1. （1）
解：$\triangle ABC$是等腰三角形。
理由：$\because x = - 1$是方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$的根，
$\therefore$把$x=-1$代入方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$得：$(a + c)×(-1)^{2}+2b×(-1)+(a - c)=0$，
即$a + c-2b + a - c = 0$，
合并同类项得$2a-2b = 0$，
化简得$a = b$，
$\therefore\triangle ABC$是等腰三角形。
2. （2）
解：$\triangle ABC$是直角三角形。
理由：$\because$方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$有两个相等的实数根，
$\therefore\Delta=(2b)^{2}-4(a + c)(a - c)=0$（对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$，$\Delta=B^{2}-4AC$），
即$4b^{2}-4(a^{2}-c^{2})=0$，
两边同时除以$4$得$b^{2}-a^{2}+c^{2}=0$，
移项得$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，
根据勾股定理的逆定理，$\therefore\triangle ABC$是直角三角形。
3. （3）
解：$\because\triangle ABC$是等边三角形，$\therefore a = b = c$，
把$a = b = c$代入方程$(a + c)x^{2}+2bx+(a - c)=0$得：
$(a + a)x^{2}+2ax+(a - a)=0$，即$2ax^{2}+2ax = 0$（$a\neq0$，因为$a$是三角形边长），
两边同时除以$2a$得$x^{2}+x = 0$，
提取公因式$x$得$x(x + 1)=0$，
则$x = 0$或$x+1 = 0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$。
综上，答案依次为：（1）等腰三角形；（2）直角三角形；（3）$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$。