《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

2. 已知$\frac {a}{b}=\frac {c}{d}=\frac {2}{3}$，且$b≠d$，则$\frac {a-c}{b-d}=$（A）
A. $\frac {2}{3}$
B. $\frac {2}{5}$
C. $\frac {3}{5}$
D. $\frac {1}{5}$

答案： A

3. 已知$\frac {a}{b}=\frac {c}{d}=\frac {e}{f}=\frac {3}{5}$，$b+d+f=50$，则$a+c+e=$30。

答案： 30

1. 若$x:y=1:3$，$2y=3z$，则$\frac {2x+y}{z-y}$的值是（A）
A. $-5$
B. $-\frac {10}{3}$
C. $\frac {10}{3}$
D. $5$

答案： A

2. 已知$\frac {x}{2}=\frac {y}{3}=\frac {z}{4}≠0$，则$\frac {x^{2}+xy}{yz}=$$\frac{5}{6}$。

答案： $\frac{5}{6}$

3. 已知$\frac {a}{b}=\frac {c}{d}$（$a$，$b$，$c$，$d$均不为0），求证：$\frac {a-2b}{b}=\frac {c-2d}{d}$。
证明：因为$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，所以根据等式的性质，在等式两边同时减去2，可得$\frac{a}{b}-2=\frac{c}{d}-2$。由于$b\neq0$，$d\neq0$，则$2=\frac{2b}{b}$，$2=\frac{2d}{d}$，因此$\frac{a}{b}-\frac{2b}{b}=\frac{c}{d}-\frac{2d}{d}$。根据同分母分数减法法则，同分母分数相减，分母不变，分子相减，即$\frac{a - 2b}{b}=\frac{c - 2d}{d}$，得证。

答案： 【解析】：本题可根据等式的性质，对已知条件$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$进行变形，从而证明$\frac{a - 2b}{b}=\frac{c - 2d}{d}$。
- **步骤一：对等式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$两边同时减去$2$。**
根据等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立。
在等式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$两边同时减去$2$，可得$\frac{a}{b}-2=\frac{c}{d}-2$。
- **步骤二：将$2$分别转化为$\frac{2b}{b}$和$\frac{2d}{d}$。**
因为$b\neq0$，$d\neq0$，所以$2 = \frac{2b}{b}$，$2 = \frac{2d}{d}$，则$\frac{a}{b}-2=\frac{a}{b}-\frac{2b}{b}$，$\frac{c}{d}-2=\frac{c}{d}-\frac{2d}{d}$。
- **步骤三：根据同分母分数的减法法则进行计算。**
同分母分数相减，分母不变，分子相减。
所以$\frac{a}{b}-\frac{2b}{b}=\frac{a - 2b}{b}$，$\frac{c}{d}-\frac{2d}{d}=\frac{c - 2d}{d}$。
因此，$\frac{a - 2b}{b}=\frac{c - 2d}{d}$，得证。
【答案】：本题可根据等式的性质，对已知条件$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$进行变形，从而证明$\frac{a - 2b}{b}=\frac{c - 2d}{d}$。
- **步骤一：对等式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$两边同时减去$2$。**
根据等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立。
在等式$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$两边同时减去$2$，可得$\frac{a}{b}-2=\frac{c}{d}-2$。
- **步骤二：将$2$分别转化为$\frac{2b}{b}$和$\frac{2d}{d}$。**
因为$b\neq0$，$d\neq0$，所以$2 = \frac{2b}{b}$，$2 = \frac{2d}{d}$，则$\frac{a}{b}-2=\frac{a}{b}-\frac{2b}{b}$，$\frac{c}{d}-2=\frac{c}{d}-\frac{2d}{d}$。
- **步骤三：根据同分母分数的减法法则进行计算。**
同分母分数相减，分母不变，分子相减。
所以$\frac{a}{b}-\frac{2b}{b}=\frac{a - 2b}{b}$，$\frac{c}{d}-\frac{2d}{d}=\frac{c - 2d}{d}$。
因此，$\frac{a - 2b}{b}=\frac{c - 2d}{d}$，得证。

4. 如图，$\frac {AE}{BE}=\frac {CE}{DE}=\frac {AC}{BD}=\frac {1}{2}$，若$\triangle AEC$的周长为15cm，求$\triangle BDE$的周长。

$\triangle BDE$的周长是30cm.

答案： 1. 首先，根据相似三角形的判定定理：
已知$\frac{AE}{BE}=\frac{CE}{DE}=\frac{AC}{BD}=\frac{1}{2}$，根据“三边成比例的两个三角形相似”，可得$\triangle AEC\sim\triangle BED$。
2. 然后，根据相似三角形的性质：
相似三角形周长的比等于相似比。设$\triangle AEC$的周长为$C_{\triangle AEC}$，$\triangle BDE$的周长为$C_{\triangle BDE}$，相似比$k = \frac{AE}{BE}=\frac{1}{2}$。
由相似三角形周长比公式$\frac{C_{\triangle AEC}}{C_{\triangle BDE}}=\frac{AE}{BE}$（相似三角形周长比等于相似比）。
已知$C_{\triangle AEC}=15cm$，$\frac{C_{\triangle AEC}}{C_{\triangle BDE}}=\frac{1}{2}$。
则$C_{\triangle BDE}=2C_{\triangle AEC}$。
所以$\triangle BDE$的周长为$30cm$。

5. 若互不相等的四条线段的长$a$，$b$，$c$，$d$满足$\frac {a}{b}=\frac {c}{d}$，$m$是任意实数，则下列各式中一定成立的是（D）
A. $\frac {a+m}{b+m}=\frac {c+m}{d+m}$
B. $\frac {a+m}{b}=\frac {c+m}{d}$
C. $\frac {a}{c}=\frac {d}{b}$
D. $\frac {a-b}{a+b}=\frac {c-d}{c+d}$

答案： D

6. 已知$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三边长，若$\frac {a+4}{3}=\frac {b+3}{2}=\frac {c+8}{4}$，且$a+b+c=12$，试判断$\triangle ABC$的形状。$\triangle ABC$为直角三角形

答案： 解：设$\frac{a + 4}{3}=\frac{b + 3}{2}=\frac{c + 8}{4}=k$，则$a = 3k - 4$，$b = 2k - 3$，$c = 4k - 8$。
因为$a + b + c = 12$，所以$(3k - 4)+(2k - 3)+(4k - 8)=12$，
$3k - 4 + 2k - 3 + 4k - 8 = 12$，
$9k - 15 = 12$，
$9k = 27$，
解得$k = 3$。
所以$a = 3×3 - 4 = 5$，$b = 2×3 - 3 = 3$，$c = 4×3 - 8 = 4$。
因为$b^{2}+c^{2}=3^{2}+4^{2}=9 + 16 = 25$，$a^{2}=5^{2}=25$，所以$b^{2}+c^{2}=a^{2}$。
根据勾股定理的逆定理，可知$\triangle ABC$是直角三角形。

7. (运算能力)设$a$，$b$，$c$是$\triangle ABC$的三条边，且$\frac {a-b}{b}=\frac {b-c}{c}=\frac {c-a}{a}$，判断$\triangle ABC$为何种三角形？并说明理由。
等边三角形

答案： 解：设$\frac{a - b}{b}=\frac{b - c}{c}=\frac{c - a}{a}=k$，则$a - b = bk$，$b - c = ck$，$c - a = ak$。
将这三个式子相加得：$(a - b)+(b - c)+(c - a)=bk + ck + ak$，即$0=(a + b + c)k$。
因为$a$，$b$，$c$是三角形的三边，所以$a + b + c\gt0$，那么$k = 0$。
当$k = 0$时，$a - b = 0$，$b - c = 0$，$c - a = 0$，即$a = b = c$。
所以$\triangle ABC$是等边三角形。