《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

15. (10分)如图,$\triangle ABC$与$\triangle ADE$均为等腰三角形,$BA=BC,DA=DE$,如果点D在BC上,且$∠EDC=∠BAD$,点O为AC与DE的交点. 求证:
(1)$\triangle ABC\backsim \triangle ADE$;
(2)$DA\cdot OE=OA\cdot CE$.

答案： 【解析】：
(1) 因为$\angle ADC = \angle B + \angle BAD = \angle ADE + \angle EDC$，又已知$\angle EDC = \angle BAD$，所以$\angle B = \angle ADE$。
由于$BA = BC$，$DA = DE$，则$\frac{BA}{BC}=\frac{DA}{DE}=1$，且$\angle B = \angle ADE$，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$。
(2) 由$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$可得$\angle BAC = \angle DAE$，所以$\angle BAC - \angle DAC = \angle DAE - \angle DAC$，即$\angle BAD = \angle CAE$。
又因为$\angle EDC = \angle BAD$，所以$\angle EDC = \angle CAE$。
因为$\angle DOE = \angle AOC$（对顶角相等），所以$\triangle DOE\backsim\triangle AOC$。
则$\frac{DA}{CE}=\frac{OA}{OE}$，交叉相乘可得$DA\cdot OE = OA\cdot CE$。
【答案】：
(1) 证明见上述解析，可证$\triangle ABC\backsim\triangle ADE$。
(2) 证明见上述解析，可证$DA\cdot OE = OA\cdot CE$。

16. (10分)[2024·沈阳实验学校月考]垂中平行四边形的定义如下:在平行四边形中,过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线,若垂线与平行四边形的一条边的交点是这条边的中点,则该平行四边形是垂中平行四边形.


(1)如图1,四边形ABCD为垂中平行四边形.若$AF=\sqrt {5},CE=2$,则$AE=$2.$AB=$$\sqrt{5}$.
(2)如图2,若四边形ABCD为垂中平行四边形,且$AB=BD$,猜想AF与CD的关系,并说明理由.
(3)①如图3,在$\triangle ABC$中,$BE=5,CE=2AE=12,BE⊥AC$交AC于点E,请画出以BC为边的垂中平行四边形,要求:点A在垂中平行四边形的一条边上(不限作图工具);
②若将$\triangle ABC$关于直线AC对称得到$\triangle AB'C$,连接$CB'$,作射线$CB'$交①中所画平行四边形的边于点P,连接PE,请直接写出PE的长.

(2)AF与CD的关系为AF=$\frac{1}{2}$CD且AF⊥CD。理由如下：
因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，AB//CD。因为AB=BD，E是DF中点（垂中平行四边形定义），BE⊥AF，所以AE=FE。又因为∠AEB=∠FED，所以△AEB≌△FED(SAS)（AE=FE，∠AEB=∠FED，BE=DE，由AB=BD，BE⊥AF可得BE=DE）。所以AB=DF，又因为AB=CD，所以DF=CD。因为BE⊥AF，AB//CD，所以AF⊥CD，且AF=$\frac{1}{2}$CD。
(3)①作图：延长BE到F，使EF=BE=5，过点C作CG//BF，过点F作FG//BC，CG与FG交于点G，四边形BCGF即为所求。
②6

答案： $(1)$ 求$AE$和$AB$的长度
本题可根据平行四边形的性质以及勾股定理进行求解。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，则$\angle FAE=\angle BCE$，$\angle AFE=\angle CBE$。
又因为$E$是$AF$中点（垂中平行四边形定义），所以$AE = CE = 2$。
在$Rt\triangle ABE$中，$BE\perp AC$，$AE = 2$，$AF=\sqrt{5}$，根据勾股定理$AB=\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}$。
因为$\triangle AFE\cong\triangle CBE(AAS)$（$\angle FAE=\angle BCE$，$\angle AFE=\angle CBE$，$AE = CE$），所以$BE = FE$。
在$Rt\triangle AFE$中，$FE=\sqrt{AF^{2}-AE^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-2^{2}} = 1$，则$BE = 1$。
所以$AB=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$。
故$AE = \boldsymbol{2}$，$AB = \boldsymbol{\sqrt{5}}$。
$(2)$ 探究$AF$与$CD$的关系
本题可通过证明三角形全等，再结合平行四边形性质得出关系。
猜想**：$AF = \frac{1}{2}CD$且$AF\perp CD$。
理由**：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$AB// CD$。
因为$AB = BD$，$E$是$DF$中点（垂中平行四边形定义），$BE\perp AF$，所以$AE = FE$。
又因为$\angle AEB=\angle FED$，所以$\triangle AEB\cong\triangle FED(SAS)$（$AE = FE$，$\angle AEB=\angle FED$，$BE = DE$，由$AB = BD$，$BE\perp AF$可得$BE = DE$）。
所以$AB = DF$，又因为$AB = CD$，所以$DF = CD$。
因为$BE\perp AF$，$AB// CD$，所以$AF\perp CD$，且$AF = \frac{1}{2}CD$（$E$是$DF$中点，$\triangle AEB\cong\triangle FED$，所以$AF = FD$，又$FD = CD$） 。
$(3)$
① **作图**：
延长$BE$到$F$，使$EF = BE = 5$，过点$C$作$CG// BF$，过点$F$作$FG// BC$，$CG$与$FG$交于点$G$，则四边形$BCGF$是以$BC$为边的垂中平行四边形，且点$A$在边$BF$上。
② **求$PE$的长
因为$CE = 12$，$AE=\frac{1}{2}CE = 6$，$BE = 5$。
由对称性可知$B'E = BE = 5$，$AB' = AB$。
因为四边形$BCGF$是平行四边形，所以$BF// CG$，则$\angle B'PE=\angle B'CG$，$\angle B'EP=\angle B'GC$。
又因为$B'E = BE$，$BE = FG$（平行四边形对边相等），所以$B'E = FG$。
$\triangle B'EP\cong\triangle FGC(AAS)$（$\angle B'PE=\angle B'CG$，$\angle B'EP=\angle B'GC$，$B'E = FG$），所以$PE = EC÷2 = 6$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{\sqrt{5}}$；$(2)$$\boldsymbol{AF = \frac{1}{2}CD}$且$\boldsymbol{AF\perp CD}$；$(3)$ ① 见上述作图；②$\boldsymbol{6}$。