《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. [2023·临沂]在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（D）
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$

答案： D

2. [2023·重庆B卷]有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是$\frac{1}{4}$.

答案： $\frac{1}{4}$

3. [2023·山西]中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是$\frac{1}{6}$.

答案： $\frac{1}{6}$

4. [2023·牡丹江]甲、乙两名同学玩“石头、剪刀、布”的游戏，随机出手一次，甲获胜的概率是$\frac{1}{3}$.

答案： $\frac{1}{3}$

5. 小明的口袋中有5把相似的钥匙，其中只有两把钥匙能打开教室门锁，但他忘了是哪两把钥匙.
(1)小明从口袋中随机摸出一把钥匙就能打开门锁的概率是$\frac{2}{5}$;
(2)小明随机摸出两把钥匙，其中一把能打开，另一把不能打开门锁，请用画树状图的方法求出这个事件的概率.
设能打开门锁的两把钥匙为$A$、$B$，不能打开门锁的三把钥匙为$C$、$D$、$E$。
画树状图：
开始
第一次摸：$A$
第二次摸：$B$、$C$、$D$、$E$
第一次摸：$B$
第二次摸：$A$、$C$、$D$、$E$
第一次摸：$C$
第二次摸：$A$、$B$、$D$、$E$
第一次摸：$D$
第二次摸：$A$、$B$、$C$、$E$
第一次摸：$E$
第二次摸：$A$、$B$、$C$、$D$
从树状图可知，所有可能的结果有$5×4=20$种。
其中一把能打开，另一把不能打开门锁的情况有12种。
所以这个事件的概率$P=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$。

答案： 1. （1）
直接根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是总情况数，$m$是事件$A$发生的情况数）计算：
已知$n = 5$（钥匙总数），$m = 2$（能开门的钥匙数），所以$P=\frac{2}{5}$。
2. （2）
设能打开门锁的两把钥匙为$A$、$B$，不能打开门锁的三把钥匙为$C$、$D$、$E$。
画树状图：
第一次摸钥匙有$5$种情况，第二次摸钥匙有$4$种情况。
树状图如下：
开始
第一次摸：$A$
第二次摸：$B$
第二次摸：$C$
第二次摸：$D$
第二次摸：$E$
第一次摸：$B$
第二次摸：$A$
第二次摸：$C$
第二次摸：$D$
第二次摸：$E$
第一次摸：$C$
第二次摸：$A$
第二次摸：$B$
第二次摸：$D$
第二次摸：$E$
第一次摸：$D$
第二次摸：$A$
第二次摸：$B$
第二次摸：$C$
第二次摸：$E$
第一次摸：$E$
第二次摸：$A$
第二次摸：$B$
第二次摸：$C$
第二次摸：$D$
从树状图可知，所有可能的结果$n = 5×4=20$（种）（这里因为摸两把钥匙，$(A,B)$和$(B,A)$是不同的摸取顺序，但结果是一样的，不过在树状图中都列出来了）。
其中一把能打开，另一把不能打开门锁的情况$m=(A,C)+(A,D)+(A,E)+(B,C)+(B,D)+(B,E)+(C,A)+(D,A)+(E,A)+(C,B)+(D,B)+(E,B)=12$（种）。
根据概率公式$P=\frac{m}{n}$，这里$n = 20$，$m = 12$，所以$P=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$。
故答案为：（1）$\frac{2}{5}$；（2）$\frac{3}{5}$。

6. [2023秋·淮安期末]如图，从A地到B地共有三条路线，长度分别为3km，2km，3km，从B地到C地共有两条路线，长度分别为3km，2km，小安随机选择路线从A地先到B地再到C地.
(1)小安从A地到B地所走路线长为3km的概率为$\frac{2}{3}$;
(2)用画树状图或列表的方法求小安从A地到C地所走路线总长度为5km的概率.

答案： 1. （1）
从$A$地到$B$地共有$3$条路线，其中长度为$3km$的路线有$2$条。
根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是所有可能的结果数，$m$是事件$A$发生的结果数），这里$n = 3$，$m = 2$。
所以小安从$A$地到$B$地所走路线长为$3km$的概率$P=\frac{2}{3}$。
2. （2）
设从$A$到$B$的三条路线为$A_1$（$3km$），$A_2$（$2km$），$A_3$（$3km$）；从$B$到$C$的两条路线为$B_1$（$3km$），$B_2$（$2km$）。
列表如下：
| $A - B$ | $B - C$ | $A - C$总长度（$km$） |
| ---- | ---- | ---- |
| $A_1$ | $B_1$ | $3 + 3=6$ |
| $A_1$ | $B_2$ | $3 + 2 = 5$ |
| $A_2$ | $B_1$ | $2+3 = 5$ |
| $A_2$ | $B_2$ | $2 + 2=4$ |
| $A_3$ | $B_1$ | $3 + 3=6$ |
| $A_3$ | $B_2$ | $3 + 2 = 5$ |
从列表中可以看出，从$A$地到$C$地所有可能的路线总长度情况有$6$种，其中路线总长度为$5km$的情况有$3$种。
根据概率公式$P=\frac{m}{n}$，这里$n = 6$，$m = 3$。
所以小安从$A$地到$C$地所走路线总长度为$5km$的概率$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
综上，答案依次为：（1）$\frac{2}{3}$；（2）$\frac{1}{2}$。

7. (数据观念)[2022·玉林]问题情境：
在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：
①$AB = AC$；
②$DB = DC$；
③$\angle BAD = \angle CAD$.
若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？
解决方案：探究$\triangle ABD$与$\triangle ACD$全等.
问题解决：
(1)当选择①②作为已知条件时，$\triangle ABD$与$\triangle ACD$全等吗？全等（填“全等”或“不全等”），理由是$SSS$（边边边）.
(2)当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求$\triangle ABD \cong \triangle ACD$的概率.

解：列表如下：
| | ① | ② | ③ |
|--|--|--|--|
| ① | - | $(①,②)$ | $(①,③)$ |
| ② | $(②,①)$ | - | $(②,③)$ |
| ③ | $(③,①)$ | $(③,②)$ | - |
从表中可以看出，一共有$6$种等可能的情况。
当选择$(①,②)$时：
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AC\\DB = DC\\AD = AD\end{array}\right.$，根据$SSS$，$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
当选择$(①,③)$时：
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AC\\\angle BAD=\angle CAD\\AD = AD\end{array}\right.$，根据$SAS$（边 - 角 - 边），$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
当选择$(②,③)$时：
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，$\left\{\begin{array}{l}DB = DC\\\angle BAD=\angle CAD\\AD = AD\end{array}\right.$，根据$SAS$，$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
所以$\triangle ABD\cong\triangle ACD$的情况有$3$种。
根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是所有等可能的结果数，$m$是事件$A$发生的结果数），则$P(\triangle ABD\cong\triangle ACD)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。

答案： 1. （1）
答案：全等，$SSS$（边边边）。
解析：在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AC\\DB = DC\\AD = AD\end{array}\right.$（公共边），根据$SSS$（边 - 边 - 边）判定定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
2. （2）
解：列表如下：
| | ① | ② | ③ |
|--|--|--|--|
| ① | - | $(①,②)$ | $(①,③)$ |
| ② | $(②,①)$ | - | $(②,③)$ |
| ③ | $(③,①)$ | $(③,②)$ | - |
从表中可以看出，一共有$6$种等可能的情况。
当选择$(①,②)$时：
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AC\\DB = DC\\AD = AD\end{array}\right.$，根据$SSS$，$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
当选择$(①,③)$时：
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = AC\\\angle BAD=\angle CAD\\AD = AD\end{array}\right.$，根据$SAS$（边 - 角 - 边），$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
当选择$(②,③)$时：
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，$\left\{\begin{array}{l}DB = DC\\\angle BAD=\angle CAD\\AD = AD\end{array}\right.$，根据$SAS$，$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
所以$\triangle ABD\cong\triangle ACD$的情况有$3$种。
根据概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是所有等可能的结果数，$m$是事件$A$发生的结果数），则$P(\triangle ABD\cong\triangle ACD)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
综上，（1）全等，$SSS$；（2）$\frac{1}{2}$。