《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. [2022·泰州]如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪。要使草坪的面积为$1260m^{2}$，道路的宽应为4m.

答案： 1. 设道路的宽为$x$米：
则草坪的长为$(50 - 2x)$米，宽为$(38 - 2x)$米。
根据矩形面积公式$S = ab$（$a$、$b$为矩形的长和宽），已知草坪面积$S = 1260m^{2}$，可列方程$(50 - 2x)(38 - 2x)=1260$。
2. 展开方程：
利用多项式乘法法则$(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd$，这里$a = 50$，$b=-2x$，$c = 38$，$d=-2x$，则$50×38-50×2x-38×2x + 4x^{2}=1260$。
即$1900-100x - 76x+4x^{2}=1260$。
整理得$4x^{2}-176x + 1900 - 1260 = 0$，进一步化简为$x^{2}-44x + 160 = 0$。
3. 对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$（这里$a = 1$，$b=-44$，$c = 160$），使用求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$：
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-44)^{2}-4×1×160$。
$\Delta = 1936 - 640=1296$。
再求根$x=\frac{44\pm\sqrt{1296}}{2}=\frac{44\pm36}{2}$。
当$x=\frac{44 + 36}{2}$时，$x=\frac{80}{2}=40$（因为$x = 40$时，$50-2x=50 - 80=-30\lt0$，$38 - 2x=38 - 80=-42\lt0$，不符合实际意义，舍去）。
当$x=\frac{44 - 36}{2}$时，$x=\frac{8}{2}=4$。
所以道路的宽应为$4$米。

2. 如图，圆柱的高为10cm，全面积(也称表面积)为$48πcm^{2}$，则圆柱的底面半径为2cm.

答案： 解：设圆柱的底面半径为$r$，圆柱的表面积公式为$S = 2\pi r^{2}+2\pi rh$（其中$h$为高）。
已知$h = 10$，$S = 48\pi$，代入公式可得：
$48\pi=2\pi r^{2}+2\pi r×10$
两边同时除以$2\pi$得：$24 = r^{2}+10r$
即$r^{2}+10r - 24 = 0$
因式分解得$(r + 12)(r - 2)=0$
则$r + 12 = 0$或$r - 2 = 0$
解得$r=-12$（半径不能为负舍去），$r = 2$。
所以圆柱的底面半径为$2cm$。

3. 如图，一张长12cm、宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是$24cm^{2}$的有盖的长方体铁盒，则该铁盒的体积为48$cm^{3}$。

答案： 48

4. 已知一本数学书的长为26cm、宽为18.5cm、厚为1cm。一张长方形包书纸如图所示，它的面积为$1408cm^{2}$，虚线表示的是折痕，长方形相邻两边与折痕围成的四角为大小相同的正方形，求正方形的边长为3cm。

答案： 1. 设正方形的边长为$x cm$：
根据题意，包书纸的长为$(2x + 18.5×2+1)cm$，宽为$(x + 26)cm$。
已知长方形包书纸的面积公式$S=$长$×$宽，且$S = 1408cm^{2}$，则可列出方程$(2x + 18.5×2 + 1)(x + 26)=1408$。
2. 化简方程：
先化简$2x + 18.5×2 + 1$：
$2x+37 + 1=2x + 38$，所以原方程变为$(2x + 38)(x + 26)=1408$。
再根据多项式乘法法则$(a + b)(c + d)=ac+ad+bc+bd$展开：
$2x× x+2x×26+38× x + 38×26=1408$。
即$2x^{2}+52x+38x + 988 = 1408$。
进一步合并同类项得$2x^{2}+90x+988 - 1408 = 0$。
所以$2x^{2}+90x - 420 = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2}+45x - 210 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b = 45$，$c=-210$，也可以用因式分解法：
原方程$(2x + 38)(x + 26)=1408$，展开$2x^{2}+52x+38x+988 = 1408$，$2x^{2}+90x - 420 = 0$，化简为$x^{2}+45x - 210 = 0$，我们还可以用另一种方法：
由$(2x + 38)(x + 26)=1408$，先计算$1408÷26 = 54.15\cdots$，我们重新分析包书纸的长和宽。
包书纸的长为$(2×18.5 + 1+2x)=(38 + 2x)$，宽为$(26 + x)$，则$(2x + 38)(x + 26)=1408$。
把$1408$分解因数$1408 = 32×44$。
令$\begin{cases}2x+38 = 44\\x + 26 = 32\end{cases}$。
解第一个方程$2x+38 = 44$：
移项得$2x=44 - 38$，即$2x = 6$，解得$x = 3$。
解第二个方程$x + 26 = 32$，移项得$x=32 - 26$，解得$x = 6$（舍去，因为如果$x = 6$，$2x+38=2×6 + 38=50$，$1408÷50 = 28.16\neq26 + 6$）。
所以正方形的边长为$3cm$。

5. (创新意识)已知$P(4,1)$为平面直角坐标系中的一点，$A(a,0)$，$B(0,a)$(其中$a＞0$)分别是坐标轴上的动点。若$\triangle PAB$的面积为3，试求点A的坐标。

答案： 解：
首先求直线$AB$的方程，根据直线的截距式方程$\frac{x}{a}+\frac{y}{a}=1$，即$x + y - a = 0$。
然后根据点$P(4,1)$到直线$AB$的距离公式$d=\frac{\vert 4 + 1 - a\vert}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{\vert 5 - a\vert}{\sqrt{2}}$。
又因为$\vert AB\vert=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2}a$。
根据三角形面积公式$S_{\triangle PAB}=\frac{1}{2}×\vert AB\vert× d$，已知$S_{\triangle PAB}=3$，则$\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×\frac{\vert 5 - a\vert}{\sqrt{2}} = 3$，即$\frac{1}{2}a\vert 5 - a\vert = 3$。
当$a\leqslant5$时，$\frac{1}{2}a(5 - a)=3$，即$a^{2}-5a + 6 = 0$，因式分解得$(a - 2)(a - 3)=0$，解得$a = 2$或$a = 3$。
当$a\gt5$时，$\frac{1}{2}a(a - 5)=3$，即$a^{2}-5a - 6 = 0$，因式分解得$(a - 6)(a + 1)=0$，解得$a = 6$或$a=-1$（舍去）。
所以点$A$的坐标为$(2,0)$或$(3,0)$或$(6,0)$。
综上，点$A$的坐标为$\boldsymbol{(2,0)}$或$\boldsymbol{(3,0)}$或$\boldsymbol{(6,0)}$。