《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

5. [2023·绍兴]如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,垂足分别为E,F,连接EF,AG,并延长AG交EF于点H.
(1)求证:∠DAG=∠EGH;
(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.

(1)略
(2)AH⊥EF. 理由略.

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是正方形，$BD$是对角线，所以$\angle ADG = \angle CDG = 45^{\circ}$，$AD = CD$。
在$\triangle ADG$和$\triangle CDG$中，$\begin{cases}AD = CD\\\angle ADG=\angle CDG\\DG = DG\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ADG\cong\triangle CDG$。
所以$\angle DAG=\angle DCG$。
因为$GE\perp CD$，$GF\perp BC$，$\angle C = 90^{\circ}$，所以四边形$GECF$是矩形。
则$EF// DC$（矩形的对边平行）。
根据两直线平行，同位角相等，所以$\angle EGH=\angle DCG$。
又因为$\angle DAG=\angle DCG$，所以$\angle DAG=\angle EGH$。
2. （2）判断：
$AH\perp EF$。
理由：
由（1）知$\triangle ADG\cong\triangle CDG$，所以$\angle DAG=\angle DCG$。
因为四边形$GECF$是矩形，所以$EF// DC$。
设$AG$与$DC$相交于点$M$，因为$\angle DAG+\angle AMD = 90^{\circ}$（正方形$ABCD$中$AD\perp DC$）。
又因为$EF// DC$，所以$\angle EHG=\angle AMD$（两直线平行，同位角相等）。
由（1）$\angle DAG=\angle EGH$，则$\angle EGH+\angle EHG=\angle DAG + \angle AMD=90^{\circ}$。
在$\triangle EGH$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，$\angle EHG+\angle EGH+\angle HEG = 180^{\circ}$，所以$\angle EHG+\angle EGH = 90^{\circ}$，那么$\angle EHG = 90^{\circ}$，即$AH\perp EF$。
综上，（1）得证$\angle DAG=\angle EGH$；（2）$AH\perp EF$。

6. [2024·沈阳模拟]如图,E是正方形ABCD的边BC上的动点,∠AEF=90°,且EF=AE,点H在BC的延长线上,FH⊥BH.
(1)求证:BE=CH;
(2)若AB=3,BE=x,用x表示DF的长,$\sqrt {2x^{2}-6x+9}$

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = BC$。
又因为$FH\perp BH$，所以$\angle H = 90^{\circ}=\angle B$。
因为$\angle AEF = 90^{\circ}$，所以$\angle AEB+\angle FEH = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABE$中，$\angle BAE+\angle AEB = 90^{\circ}$，所以$\angle BAE=\angle FEH$。
在$\triangle ABE$和$\triangle EHF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle H\\\angle BAE=\angle FEH\\AE = EF\end{array}\right.$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABE\cong\triangle EHF$。
所以$BE = HF$，$AB = EH$。
因为$AB = BC$，所以$BC = EH$，即$BE + EC=EC + CH$，所以$BE = CH$。
2. （2）解：
过点$F$作$FM\perp CD$于点$M$。
因为$\triangle ABE\cong\triangle EHF$，$AB = 3$，$BE = x$，所以$EH = AB = 3$，$HF = BE = x$。
则$CM = FH=x$，$DM=CD - CM$，又$CD = AB = 3$，所以$DM = 3 - x$。
$MF=CH = BE=x$（由（1）知$BE = CH$）。
在$Rt\triangle DMF$中，根据勾股定理$DF=\sqrt{DM^{2}+MF^{2}}$。
把$DM = 3 - x$，$MF=x$代入可得：
$DF=\sqrt{(3 - x)^{2}+x^{2}}=\sqrt{9 - 6x+x^{2}+x^{2}}=\sqrt{2x^{2}-6x + 9}$。
综上，（1）得证；（2）$DF=\sqrt{2x^{2}-6x + 9}$。

7. (推理能力)如图,P是正方形ABCD内一点,且点P到点A,B,C的距离分别为2$\sqrt{3}$,$\sqrt{2}$,4,则正方形ABCD的面积为$14+4\sqrt {3}$.

答案： $14+4\sqrt {3}$