《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

5. 将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，则$\frac{BE}{EC}$的值是______.

$\frac {\sqrt {3}}{3}$

答案： $\frac {\sqrt {3}}{3}$

6. 如图，已知∠ADE = ∠ACB，BD = 8，CE = 4，CF = 2，求 DF 的长.

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答案： 1. 首先，证明$\triangle BDF\sim\triangle ECF$：
因为$\angle ADE=\angle ACB$，$\angle ADE + \angle BDF = 180^{\circ}$，$\angle ACB+\angle ECF = 180^{\circ}$（邻补角定义），所以$\angle BDF=\angle ECF$。
又因为$\angle BFD=\angle EFC$（对顶角相等）。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle BDF\sim\triangle ECF$。
2. 然后，根据相似三角形的性质：
由相似三角形对应边成比例，对于$\triangle BDF$和$\triangle ECF$，有$\frac{BD}{CE}=\frac{DF}{CF}$。
3. 最后，代入已知数据求解$DF$：
已知$BD = 8$，$CE = 4$，$CF = 2$，将其代入$\frac{BD}{CE}=\frac{DF}{CF}$中，即$\frac{8}{4}=\frac{DF}{2}$。
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得$4× DF=8×2$。
化简得$4DF = 16$，解得$DF = 4$。
所以$DF$的长为$4$。

7. [2024·本溪期中]如图，某小组在进行凸透镜成像规律的探究实验，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度，主光轴 l 垂直于凸透镜 MN，且经过凸透镜光心 O，将长度为 8.8 cm 的发光物 AB 进行移动，使物距 OC 为 35.2 cm，光线 AO，BO 传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像 A'B'，此时测得像距 OD 为 12.4 cm.
(1)求像 A'B'的长为3.1cm；
(2)已知光线 AP 平行于主光轴 l，经过凸透镜 MN 折射后通过焦点 F，求凸透镜的焦距 OF 的长约为9.2cm(结果精确到 0.1 cm).

答案： 1. （1）
解：
因为$\triangle AOB\sim\triangle A'OB'$（两角分别相等的两个三角形相似，$\angle AOB=\angle A'OB'$，$\angle OAB = \angle OA'B'$，$\angle OBA=\angle OB'A'$）。
根据相似三角形的性质$\frac{AB}{A'B'}=\frac{OC}{OD}$。
已知$AB = 8.8\mathrm{cm}$，$OC = 35.2\mathrm{cm}$，$OD = 12.4\mathrm{cm}$，则$A'B'=\frac{AB\cdot OD}{OC}$。
把数值代入可得：$A'B'=\frac{8.8×12.4}{35.2}$
先计算$8.8×12.4 = 109.12$，再计算$109.12÷35.2 = 3.1\mathrm{cm}$。
2. （2）
解：
因为$\triangle AOC\sim\triangle A'OF$（$\angle AOC=\angle A'OF$，$\angle OAC=\angle OA'F$）。
根据相似三角形的性质$\frac{AC}{A'F}=\frac{OC}{OF}$，又因为$AC = AB = 8.8\mathrm{cm}$，$A'F = A'B'=3.1\mathrm{cm}$，$OC = 35.2\mathrm{cm}$，设$OF = x\mathrm{cm}$，则$\frac{8.8}{3.1}=\frac{35.2}{x}$。
由比例的性质“交叉相乘相等”可得$8.8x = 3.1×35.2$。
先计算$3.1×35.2 = 109.12$，则$x=\frac{109.12}{8.8}=12.4\mathrm{cm}$。
综上，（1）像$A'B'$的长为$3.1\mathrm{cm}$；（2）凸透镜的焦距$OF$的长为$12.4\mathrm{cm}$。