《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 矩形的概念
定 义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

答案： 直角

2. 矩形的性质定理
定 理:(1)矩形的四个角都是直角.
(2)矩形的对角线相等.
拓 展:(1)矩形是特殊的平行四边形,因此具有一般平行四边形的所有性质.
(2)矩形是轴对称图形,对称轴是对边中点连线所在的直线.

答案： 直角 相等

3. 直角三角形斜边上的中线的性质
定 理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
拓 展:如果三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.

答案： 一半 直角三角形

例1 (1)[2023·台州]如图1,在矩形ABCD中,$AB=4$,$AD=6$.在边AD上取一点E,使$BE=CB$,过点C作$CF⊥BE$,垂足为F,则BF的长为$2\sqrt{5}$.


(2)如图2,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作$OE⊥BC$,垂足为E,过点A作$AF⊥OB$,垂足为F.若$BC=2AF$,$OD=6$,则BE的长为$3\sqrt{3}$.

答案：
(1)$2\sqrt{5}$
(3)$3\sqrt{3}$

例2 如图,在$\triangle ABC$中,D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,AH是边BC上的高.求证:
(1)四边形ADEF是平行四边形;
证明：因为$D$、$E$、$F$分别是边$AB$、$BC$、$CA$的中点，根据三角形中位线定理，$DE// AC$，$EF// AB$，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以四边形$ADEF$是平行四边形。
(2)$∠DHF=∠DEF$.
证明：因为四边形$ADEF$是平行四边形，所以$\angle DEF=\angle BAC$。
因为$D$、$F$分别是$AB$、$CA$的中点，$AH$是边$BC$上的高，在$Rt\triangle ABH$中，$DH = AD$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），所以$\angle DAH=\angle DHA$；在$Rt\triangle ACH$中，$FH = AF$，所以$\angle FAH=\angle FHA$。
$\angle DHF=\angle DHA+\angle FHA=\angle DAH+\angle FAH=\angle BAC$，所以$\angle DHF=\angle DEF$。

【点悟】(1)直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形;(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,为证明倍分关系给出了方法.

答案： 【解析】：
(1) 因为$D$、$E$、$F$分别是边$AB$、$BC$、$CA$的中点，根据三角形中位线定理，$DE// AC$，$EF// AB$，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以四边形$ADEF$是平行四边形。
(2) 因为四边形$ADEF$是平行四边形，所以$\angle DEF=\angle BAC$。
因为$D$、$F$分别是$AB$、$CA$的中点，$AH$是边$BC$上的高，在$Rt\triangle ABH$中，$DH = AD$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），所以$\angle DAH=\angle DHA$；在$Rt\triangle ACH$中，$FH = AF$，所以$\angle FAH=\angle FHA$。
$\angle DHF=\angle DHA+\angle FHA=\angle DAH+\angle FAH=\angle BAC$，所以$\angle DHF=\angle DEF$。
【答案】：
(1) 四边形$ADEF$是平行四边形得证。
(2) $\angle DHF=\angle DEF$得证。

1. 对于任意的矩形,下列说法一定正确的是(C)
A. 对角线垂直且相等
B. 四边都互相垂直
C. 四个角都相等
D. 是轴对称图形,但不是中心对称图形

答案： C