《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

8. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 P，D 分别是边 BC，AC 上的点，且∠APD = ∠B.
(1)求证：AC·CD = PC·BP；
(2)若 AB = 10，BC = 12，当 PD//AB 时，求 BP 的长.$\frac {25}{3}$

答案： 1. （1）证明：
因为$AB = AC$，所以$\angle B=\angle C$。
又因为$\angle APC=\angle B+\angle BAP$，$\angle APC=\angle APD+\angle DPC$，且$\angle APD = \angle B$，所以$\angle BAP=\angle DPC$。
在$\triangle ABP$和$\triangle PCD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle C\\\angle BAP=\angle DPC\end{array}\right.$，所以$\triangle ABP\sim\triangle PCD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，$\frac{BP}{CD}=\frac{AB}{PC}$，即$AB\cdot CD = PC\cdot BP$。
因为$AB = AC$，所以$AC\cdot CD = PC\cdot BP$。
2. （2）
因为$PD// AB$，所以$\angle APD=\angle BAP$。
又因为$\angle APD=\angle B$，所以$\angle BAP=\angle B$，则$PA = PB$。
过点$A$作$AE\perp BC$于点$E$，因为$AB = AC$，$BC = 12$，根据等腰三角形三线合一，$BE = CE=\frac{1}{2}BC = 6$。
在$Rt\triangle ABE$中，$AB = 10$，$BE = 6$，根据勾股定理$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$。
设$BP=x$，则$PA=x$，$PE = 6 - x$。
在$Rt\triangle APE$中，根据勾股定理$PA^{2}=PE^{2}+AE^{2}$，即$x^{2}=(6 - x)^{2}+8^{2}$。
展开得$x^{2}=36-12x+x^{2}+64$。
移项可得$x^{2}-x^{2}+12x=36 + 64$。
合并同类项得$12x = 100$，解得$x=\frac{25}{3}$。
所以（1）得证；（2）$BP$的长为$\frac{25}{3}$。

9. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为边 AD 的中点，点 F 在边 CD 上，且∠BEF = 90°.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若 AB = 4，延长 EF 交 BC 的延长线于点 G，求 BG 的长.10

答案： 1. （1）证明：
在正方形$ABCD$中，$\angle A=\angle D = 90^{\circ}$。
因为$\angle BEF = 90^{\circ}$，所以$\angle AEB+\angle DEF = 90^{\circ}$。
又因为$\angle AEB+\angle ABE = 90^{\circ}$，所以$\angle ABE=\angle DEF$。
两角分别相等的两个三角形相似，所以$\triangle ABE\sim\triangle DEF$。
2. （2）解：
因为$AB = 4$，$E$为$AD$中点，所以$AE = DE=\frac{1}{2}AD = 2$。
由（1）知$\triangle ABE\sim\triangle DEF$，则$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{DF}$，即$\frac{4}{2}=\frac{2}{DF}$，解得$DF = 1$。
所以$CF = CD - DF = 4 - 1 = 3$。
因为$AD// BC$，所以$\triangle DEF\sim\triangle CGF$。
则$\frac{DE}{CG}=\frac{DF}{CF}$，即$\frac{2}{CG}=\frac{1}{3}$，解得$CG = 6$。
所以$BG = BC + CG = 4 + 6 = 10$。
综上，（1）得证；（2）$BG$的长为$10$。