《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

菱形的判定定理
定理：(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(2)四边相等的四边形是菱形.
拓展：(1)对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
(2)一组邻边相等的平行四边形是菱形.

答案： 垂直 相等 垂直平分 相等

例1 [2023·郴州]如图，四边形ABCD是平行四边形.
(1)尺规作图：作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹)；
分别以A、C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，过这两点作直线MN
(2)若直线MN分别交AD，BC于E，F两点，求证：四边形AFCE是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠EAC=∠FCA.∵MN是AC的垂直平分线，∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°.在△AOE和△COF中，$\begin{cases}\angle EAC=\angle FCA\\AO=CO\\\angle AOE=\angle COF\end{cases}$，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE=CF.又∵AE//CF，∴四边形AFCE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).

答案： 1. （1）
作图步骤：
以$A$为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$长为半径画弧；
以$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$长为半径画弧，两弧分别交于两点；
过这两点作直线$MN$，则直线$MN$就是对角线$AC$的垂直平分线（作图痕迹略）。
2. （2）
解（证明）：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，则$\angle EAC=\angle FCA$。
因为$MN$是$AC$的垂直平分线，所以$AO = CO$，$\angle AOE=\angle COF = 90^{\circ}$。
在$\triangle AOE$和$\triangle COF$中：
$\begin{cases}\angle EAC=\angle FCA\\AO = CO\\\angle AOE=\angle COF\end{cases}$
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，可得$\triangle AOE\cong\triangle COF$。
所以$AE = CF$。
又因为$AE// CF$，所以四边形$AFCE$是平行四边形。
因为$MN\perp AC$，即$EF\perp AC$，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，所以四边形$AFCE$是菱形。

例2 [2023·沈阳]如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连接BE，过点C作CF//BE交AD的延长线于点F，连接BF，CE.求证：四边形BECF是菱形.

证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即∠BDE=∠CDF=90°.
∵CF//BE，
∴∠EBD=∠FCD（两直线平行，内错角相等）.
在△BDE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}\angle EBD=\angle FCD\\BD=CD\\\angle BDE=\angle CDF\end{array}\right.$
∴△BDE≌△CDF（ASA）.
∴DE=DF.
∵BD=CD，DE=DF，
∴四边形BECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
∵AD⊥BC，即EF⊥BC，
∴平行四边形BECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.

答案： 解：
因为$AB = AC$，$AD$是$BC$边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，所以$BD = CD$，$AD\perp BC$，即$\angle BDE=\angle CDF = 90^{\circ}$。
又因为$CF// BE$，所以$\angle EBD=\angle FCD$。
在$\triangle BDE$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases}\angle EBD=\angle FCD\\BD = CD\\\angle BDE=\angle CDF\end{cases}$
根据$ASA$（角边角）定理，可得$\triangle BDE\cong\triangle CDF$。
所以$BE = CF$。
又因为$BE// CF$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形$BECF$是平行四边形。
又因为$AD\perp BC$，即$EF\perp BC$，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形$BECF$是菱形。

例3 如图，在□ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分∠ABC，EF//AB.求证：四边形ABFE是菱形.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵EF//AB，
∴四边形ABFE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE.
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠FBE（两直线平行，内错角相等）.
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE（等角对等边）.
∴四边形ABFE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.

答案： 解：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$。
又因为$EF// AB$，所以四边形$ABFE$是平行四边形。
因为$BE$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABE = \angle FBE$。
因为$AD// BC$，所以$\angle AEB = \angle FBE$。
所以$\angle ABE = \angle AEB$，则$AB = AE$。
因为平行四边形$ABFE$中$AB = AE$，所以四边形$ABFE$是菱形。