《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠1=∠2，OB=6。求：
(1)∠BOC的度数为120°；
(2)△DOC的周长为18。

答案： 1. 求$\angle BOC$的度数：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OA = OB$（矩形的对角线相等且互相平分）。
又因为$AE\perp BD$，$\angle 1=\angle 2$，所以$AB = AO$（角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，这里可根据全等三角形$\triangle ABE\cong\triangle AOE$（$AAS$，$\angle AEB=\angle AEO = 90^{\circ}$，$\angle 1=\angle 2$，$AE = AE$）得到$AB = AO$）。
由于$OA = OB$，$AB = AO$，所以$OA=OB = AB$。
那么$\triangle AOB$是等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）。
所以$\angle AOB = 60^{\circ}$。
根据邻补角的定义，$\angle BOC=180^{\circ}-\angle AOB$，则$\angle BOC = 120^{\circ}$。
2. 求$\triangle DOC$的周长：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$OB = OD$，$OC = OA$，$AB = CD$（矩形的对角线相等且互相平分）。
由$\triangle AOB$是等边三角形，$OB = 6$，可得$OA=OB = AB = 6$。
所以$OD = OB = 6$，$OC = OA = 6$，$CD = AB = 6$。
根据三角形周长公式$C=a + b + c$（$a,b,c$为三角形三边），$\triangle DOC$的周长$C=OD + OC+CD$。
把$OD = 6$，$OC = 6$，$CD = 6$代入可得：$C = 6 + 6+6=18$。
综上，（1）$\angle BOC$的度数为$120^{\circ}$；（2）$\triangle DOC$的周长为$18$。

例2 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，O是AC的中点，又是EF的中点。
(1)求证：△BOE≌△DOF。略
(2)若OA=$\frac{1}{2}$BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由。四边形 ABCD 是矩形.理由略

答案： 1. （1）证明：
因为$BE\perp AC$，$DF\perp AC$，所以$\angle BEO = \angle DFO=90^{\circ}$。
因为$O$是$EF$的中点，所以$OE = OF$。
又因为$\angle BOE=\angle DOF$（对顶角相等）。
在$\triangle BOE$和$\triangle DOF$中，$\begin{cases}\angle BEO=\angle DFO\\OE = OF\\\angle BOE=\angle DOF\end{cases}$。
根据$ASA$（角 - 边 - 角）判定定理，可得$\triangle BOE\cong\triangle DOF$。
2. （2）解：
四边形$ABCD$是矩形。
理由如下：
因为$\triangle BOE\cong\triangle DOF$，所以$OB = OD$。
又因为$O$是$AC$的中点，即$OA = OC$。
所以四边形$ABCD$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
已知$OA=\frac{1}{2}BD$，且$OA = OC$，$OB = OD$，所以$AC = BD$。
根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形$ABCD$是矩形。
综上，（1）已证$\triangle BOE\cong\triangle DOF$；（2）四边形$ABCD$是矩形。

例3 [2023秋·沈阳北新区期中]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB交AD于点E，OG//EF，连接OE。
(1)求证：四边形OEFG是矩形；
(2)若AD=12，EF=4$\sqrt{2}$，求OE和BG的长。

(1)略
(2)OE=6，BG=4.

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$OB = OD$。
又因为$E$是$AD$的中点，所以$OE$是$\triangle ABD$的中位线，根据三角形中位线定理$OE// AB$。
已知$OG// EF$，$EF\perp AB$，所以$OE// FG$，$\angle EFG = 90^{\circ}$。
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以四边形$OEFG$是平行四边形。
又因为$\angle EFG = 90^{\circ}$，根据矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边形$OEFG$是矩形。
2. （2）
解：
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$BD\perp AC$，$AB = AD = 12$。
因为$E$是$AD$的中点，所以$OE=\frac{1}{2}AD$（直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，在$Rt\triangle AOD$中，$OE$是斜边$AD$的中线），所以$OE = 6$。
因为四边形$OEFG$是矩形，所以$FG = OE = 6$。
在$Rt\triangle AEF$中，$AE=\frac{1}{2}AD = 6$，$EF = 4\sqrt{2}$，根据勾股定理$AF=\sqrt{AE^{2}-EF^{2}}$。
由$AE = 6$，$EF = 4\sqrt{2}$，则$AF=\sqrt{6^{2}-(4\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{36 - 32}=\sqrt{4}=2$。
因为$AB=12$，$AB = AF + FG+GB$，所以$BG=AB - AF - FG$。
把$AB = 12$，$AF = 2$，$FG = 6$代入得$BG=12-(2 + 6)=4$。
综上，（1）四边形$OEFG$是矩形得证；（2）$OE = 6$，$BG = 4$。