《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

1. 图 1 是装了液体的高脚杯示意图 (数据如图), 用去一部分液体后如图 2 所示, 此时液面 $ AB $ 为 (C)

A. $ 1 \mathrm{~cm} $
B. $ 2 \mathrm{~cm} $
C. $ 3 \mathrm{~cm} $
D. $ 4 \mathrm{~cm} $

答案： C

2. [2022·连云港] $ \triangle ABC $ 的三边长分别为 2,3,4, 另有一个与它相似的 $ \triangle DEF $, 其最长边为 12, 则 $ \triangle DEF $ 的周长是 (C)
A. 54
B. 36
C. 27
D. 21

答案： C

3. [2023·乐山] 如图, 在平行四边形 $ ABCD $ 中, $ E $ 是线段 $ AB $ 上一点, 连接 $ AC $, $ DE $ 交于点 $ F $. 若 $ \frac{AE}{EB}=\frac{2}{3} $, 则 $ \frac{S_{\triangle ADF}}{S_{\triangle AEF}}= $$\frac{5}{2}$.

答案： $\frac{5}{2}$

4. 如图, 在梯形 $ ABCD $ 中, $ AD // BC $, $ \frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BCD}}=\frac{1}{2} $, 则 $ \frac{S_{\triangle AOD}}{S_{\triangle COB}}= $$\frac{1}{4}$.

答案： $\frac{1}{4}$

5. [2023 秋·皇姑区期末] 如图, $ \triangle ABC \backsim \triangle ADE $, 且 $ BC=2DE $, 求 $ S_{\text {四边形 } BEDC}: S_{\triangle ABC} $ 的值.3:4

答案： 3:4

6. 试证明: 相似三角形对应边上的中线之比等于相似比. (要求: 先画出图形, 再根据图形写出已知、求证和证明过程)

答案： 【解析】：
1. 首先画出图形：
画$\triangle ABC$和$\triangle A'B'C'$，使$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，$AD$是$BC$边上的中线，$A'D'$是$B'C'$边上的中线。
2. 然后写出已知、求证：
已知：$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$，$AD$是$BC$边上的中线，$A'D'$是$B'C'$边上的中线。
求证：$\frac{AD}{A'D'}=k$。
3. 接着进行证明：
因为$AD$是$BC$边上的中线，$A'D'$是$B'C'$边上的中线，所以$BD = \frac{1}{2}BC$，$B'D'=\frac{1}{2}B'C'$。
又因为$\frac{BC}{B'C'}=k$，那么$\frac{BD}{B'D'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=k$。
由于$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，所以$\angle B=\angle B'$，且$\frac{AB}{A'B'}=k$。
在$\triangle ABD$和$\triangle A'B'D'$中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}=k$，$\angle B = \angle B'$。
根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可得$\triangle ABD\sim\triangle A'B'D'$。
再根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，所以$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$，即相似三角形对应边上的中线之比等于相似比。
【答案】：
已知：$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$，$AD$是$BC$边上的中线，$A'D'$是$B'C'$边上的中线。
求证：$\frac{AD}{A'D'}=k$。
证明：因为$AD$是$BC$边上的中线，$A'D'$是$B'C'$边上的中线，所以$BD=\frac{1}{2}BC$，$B'D' = \frac{1}{2}B'C'$，又$\frac{BC}{B'C'}=k$，则$\frac{BD}{B'D'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=k$。因为$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，所以$\angle B=\angle B'$，且$\frac{AB}{A'B'}=k$。在$\triangle ABD$和$\triangle A'B'D'$中，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BD}{B'D'}=k$，$\angle B=\angle B'$，所以$\triangle ABD\sim\triangle A'B'D'$，所以$\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k$，即相似三角形对应边上的中线之比等于相似比。

7. 如图, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ D $, $ E $ 分别是边 $ AB $, $ AC $ 上的点, $ \triangle ADE \backsim \triangle ACB $, 且相似比为 $ 2:3 $, $ \triangle ABC $ 的角平分线 $ AF $ 交 $ DE $ 于点 $ G $, 交 $ BC $ 于点 $ F $, 求 $ AG $ 与 $ GF $ 的比为2:1.

答案： 解：因为$\triangle ADE\backsim\triangle ACB$，相似比为$2:3$，且$AF$是$\triangle ABC$的角平分线，根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比，所以$\dfrac{AG}{AF}=\dfrac{2}{3}$。
设$AG = 2x$，则$AF = 3x$，所以$GF=AF - AG=3x - 2x=x$。
所以$\dfrac{AG}{GF}=\dfrac{2x}{x}=2:1$。
综上，$AG$与$GF$的比为$2:1$。