《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

2. [2022·达州]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,$AC = 24$,$BD = 10$,则菱形ABCD的周长为52.

答案： 52

1. [2023·乐山]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为边BC的中点,连接OE.若$AC = 6$,$BD = 8$,则$OE =$$\frac{5}{2}$.

答案： $\frac{5}{2}$

2. [2023·甘肃]如图,在菱形ABCD中,$\angle DAB = 60^{\circ}$,$BE \perp AB$,$DF \perp CD$,垂足分别为B,D.若$AB = 6cm$,则$EF =$$2\sqrt{3}$cm.

答案： $2\sqrt{3}$

3. [2022·哈尔滨]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在OB上,连接AE,F为CD的中点,连接OF.若$AE = BE$,$OE = 3$,$OA = 4$,则线段OF的长为____$2\sqrt{5}$.

答案： $2\sqrt{5}$

4. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,MN过点O且与边AD,BC分别交于点M,N.
(1)请你判断OM与ON的数量关系,并说明理由;
OM与ON的数量关系是OM=ON。
(2)过点D作$DE // AC$交BC的延长线于点E,当$AB = 6$,$AC = 8$时,求$\triangle BDE$的周长.
$\triangle BDE$的周长为$4\sqrt{5}+20$。

答案： 1. （1）
解：$OM = ON$。
理由：
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AD// BC$，$OA = OC$。
所以$\angle MAO=\angle NCO$，$\angle AMO=\angle CNO$。
在$\triangle AOM$和$\triangle CON$中，$\begin{cases}\angle MAO=\angle NCO\\\angle AMO=\angle CNO\\OA = OC\end{cases}$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle AOM\cong\triangle CON$。
所以$OM = ON$。
2. （2）
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB = BC = CD = AD = 6$，$AC\perp BD$，$OA=\frac{1}{2}AC$，$OB = OD$。
已知$AC = 8$，则$OA=\frac{1}{2}×8 = 4$。
在$Rt\triangle AOB$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$c = AB$，$a = OA$，$b = OB$），可得$OB=\sqrt{AB^{2}-OA^{2}}$。
把$AB = 6$，$OA = 4$代入得$OB=\sqrt{6^{2}-4^{2}}=\sqrt{36 - 16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
所以$BD = 2OB = 4\sqrt{5}$。
因为$DE// AC$，$AD// CE$，所以四边形$ACED$是平行四边形。
所以$DE = AC = 8$，$CE = AD = 6$。
则$BE=BC + CE=6 + 6 = 12$。
所以$\triangle BDE$的周长为$BD + DE+BE$。
把$BD = 4\sqrt{5}$，$DE = 8$，$BE = 12$代入得：$4\sqrt{5}+8 + 12=20 + 4\sqrt{5}$。
综上，（1）$OM = ON$；（2）$\triangle BDE$的周长为$20 + 4\sqrt{5}$。

5. (推理能力)如图,在菱形ABCD中,$AB = 4$,$\angle BAD = 120^{\circ}$,$\triangle AEF$为正三角形,点E,F分别在菱形的边BC,CD上滑动,且点E,F不与点B,C,D重合.
(1)求证:不论点E,F在BC,CD上如何滑动,总有$BE = CF$.
(2)当点E,F分别在BC,CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和$\triangle CEF$的面积是否发生变化? 如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值.
四边形AECF的面积不发生变化，其值为$4\sqrt{3}$，$\triangle CEF$的面积发生变化，其最大值为$\sqrt{3}$。

答案： 1. （1）证明：
连接$AC$。
因为四边形$ABCD$是菱形，$\angle BAD = 120^{\circ}$，$AB = BC$，所以$\angle B=\angle D = 60^{\circ}$，$\triangle ABC$和$\triangle ACD$都是等边三角形。
所以$AB = AC$，$\angle B=\angle ACF = 60^{\circ}$。
又因为$\triangle AEF$是等边三角形，所以$\angle EAF = 60^{\circ}$。
而$\angle BAC=\angle EAF = 60^{\circ}$，则$\angle BAC-\angle EAC=\angle EAF-\angle EAC$，即$\angle BAE=\angle CAF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ACF$中：
$\begin{cases}\angle B=\angle ACF\\AB = AC\\\angle BAE=\angle CAF\end{cases}$
根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle ACF$。
所以$BE = CF$。
2. （2）
① 四边形$AECF$的面积不变。
因为$\triangle ABE\cong\triangle ACF$，所以$S_{\triangle ABE}=S_{\triangle ACF}$。
则$S_{四边形AECF}=S_{\triangle AEC}+S_{\triangle ACF}=S_{\triangle AEC}+S_{\triangle ABE}=S_{\triangle ABC}$。
已知$AB = 4$，$\triangle ABC$是等边三角形，根据等边三角形面积公式$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$（$a$为边长），可得$S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×4^{2}=4\sqrt{3}$，所以$S_{四边形AECF}=4\sqrt{3}$。
② $\triangle CEF$的面积发生变化。
设$BE = x$，则$CF = x$，$CE = 4 - x$，$CF = x$，$\angle C = 60^{\circ}$。
根据三角形面积公式$S_{\triangle CEF}=\frac{1}{2}CE\cdot CF\cdot\sin C$，可得$S_{\triangle CEF}=\frac{1}{2}(4 - x)x\cdot\sin60^{\circ}$。
展开$S_{\triangle CEF}=\frac{\sqrt{3}}{4}(4x - x^{2})=-\frac{\sqrt{3}}{4}(x^{2}-4x)=-\frac{\sqrt{3}}{4}(x - 2)^{2}+\sqrt{3}$。
因为$0\lt x\lt4$，所以当$x = 2$时，$S_{\triangle CEF}$有最大值$\sqrt{3}$。
综上，（1）得证；（2）四边形$AECF$面积不变，为$4\sqrt{3}$；$\triangle CEF$面积变化，最大值为$\sqrt{3}$。