《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册北师大版》

6. 如图，$E$是平行四边形$ABCD$的边$DA$延长线上一点，连接$EC$交$AB$于点$P$。
(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)：$\triangle EAP \backsim \triangle CBP$，$\triangle AEP \backsim \triangle DEC$，$\triangle BCP \backsim \triangle DEC$；
(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由：略。

答案： 1. （1）
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AD// BC$。
根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
可得$\triangle EAP\sim\triangle EDC$，$\triangle EAP\sim\triangle CBP$，$\triangle CBP\sim\triangle CDE$。
2. （2）选$\triangle EAP\sim\triangle EDC$：
解：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$。
则$\angle EAP=\angle D$（两直线平行，同位角相等），$\angle E=\angle E$（公共角）。
根据两角分别相等的两个三角形相似，所以$\triangle EAP\sim\triangle EDC$（$\angle E=\angle E$，$\angle EAP = \angle D$）。
综上，（1）$\triangle EAP\sim\triangle EDC$，$\triangle EAP\sim\triangle CBP$，$\triangle CBP\sim\triangle CDE$；（2）以$\triangle EAP\sim\triangle EDC$为例，理由如上述。

7. [2022·江西]如图，四边形$ABCD$为菱形，点$E$在$AC$的延长线上，$\angle ACD = \angle ABE$。
(1)求证：$\triangle ABC \backsim \triangle AEB$；
(2)当$AB = 6$，$AC = 4$时，求$AE$的长。

(1)略 (2)$AE=$9

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是菱形，所以$AB = BC$。
根据等腰三角形性质，$\angle BAC=\angle BCA$。
又因为$\angle BCA+\angle ACD = 180^{\circ}$，$\angle ABE+\angle AEB=180^{\circ}$，且$\angle ACD=\angle ABE$。
所以$\angle BCA=\angle AEB$（等角的补角相等）。
则$\angle BAC=\angle AEB$。
在$\triangle ABC$和$\triangle AEB$中，$\angle BAC=\angle EAB$（公共角），$\angle ABC=\angle AEB$。
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABC\backsim\triangle AEB$。
2. （2）
解：
由（1）知$\triangle ABC\backsim\triangle AEB$。
根据相似三角形的性质，$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$（相似三角形对应边成比例）。
已知$AB = 6$，$AC = 4$，将其代入$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$中，得到$AB^{2}=AC\cdot AE$。
即$AE=\frac{AB^{2}}{AC}$。
把$AB = 6$，$AC = 4$代入$AE=\frac{AB^{2}}{AC}$，则$AE=\frac{6^{2}}{4}=\frac{36}{4}=9$。
综上，（1）得证；（2）$AE$的长为$9$。

8. (推理能力)[2024·沈阳市铁西区期末]在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 2\angle ABC$，$CD$平分$\angle ACB$交$AB$于点$D$，$AE \perp BC$于点$E$，交$CD$于点$F$。
(1)如图1，求证：$AD = DF$。
(2)九(1)班智慧小组通过探究发现：当$\frac{DF}{FC} = \frac{2}{3}$时，$\frac{AF}{EF} = \frac{4}{3}$；当$\frac{DF}{FC} = \frac{5}{3}$时，$\frac{AF}{EF} = \frac{10}{3}$。由此可以猜测：当$\frac{DF}{FC} = \frac{7}{4}$时，$\frac{AF}{EF} =$$\frac{14}{4}$。
(3)如图1，当$\frac{DF}{FC} = k$时，求$\frac{AF}{EF}$的值(用含$k$的式子表达)。
(4)如图2，九(1)班创新小组在图1的基础上，作$AG \perp CD$，当$\frac{DF}{FC} = 3$时，求$\frac{DG}{AD}$的值。
(1)证明：已知$CD$平分$\angle ACB$，所以$\angle ACB = 2\angle ACD$。又因为$\angle ACB = 2\angle ABC$，所以$\angle ACD=\angle ABC$。因为$AE\perp BC$，所以$\angle AEB = 90^{\circ}$，则$\angle B+\angle BAE = 90^{\circ}$。$\angle AFD=\angle CAE+\angle ACD$（三角形外角性质），$\angle ACD=\angle B$，$\angle CAE+\angle B = 90^{\circ}-\angle BAE+\angle B$，$\angle DAF=\angle BAC-\angle BAE$，$\angle BAC = 180^{\circ}-\angle B-\angle ACB=180^{\circ}-3\angle B$，$\angle DAF = 180^{\circ}-3\angle B-\angle BAE$，$\angle AFD=\angle B+\angle CAE$，$\angle CAE = 90^{\circ}-\angle ACB=90^{\circ}-2\angle B$，$\angle AFD=\angle B + 90^{\circ}-2\angle B=90^{\circ}-\angle B$，$\angle DAF=\angle BAC-\angle BAE=(180^{\circ}-3\angle B)- (90^{\circ}-\angle B)=90^{\circ}-2\angle B+\angle B=90^{\circ}-\angle B$。所以$\angle DAF=\angle AFD$，根据等角对等边，可得$AD = DF$。
(3)解：过点$D$作$DH\perp AE$于点$H$。因为$\angle DAF=\angle AFD$，$DH\perp AF$，所以$AH = FH$（等腰三角形三线合一）。因为$DH\perp AE$，$AE\perp BC$，所以$DH// BC$，则$\triangle DHF\sim\triangle CEF$。所以$\frac{FH}{EF}=\frac{DF}{FC}=k$，设$FH = mk$，$EF = m$（$m\neq0$），则$AF = 2FH=2mk$。所以$\frac{AF}{EF}=$$2k$。
(4)解：因为$\frac{DF}{FC}=3$，由(3)知$\frac{AF}{EF}=2×3 = 6$，设$EF = x$，则$AF = 6x$。因为$AD = DF$（已证），$AG\perp CD$，所以$DG=\frac{1}{2}DF$（等腰三角形三线合一）。$AD = DF$，设$DF = 3a$（因为$\frac{DF}{FC}=3$，设$FC = a$），$DG=\frac{3}{2}a$，$AD = 3a$。所以$\frac{DG}{AD}=\frac{\frac{3}{2}a}{3a}=$$\frac{1}{2}$。

答案： $(1)$ 证明$AD = DF$
解（证明）：
已知$CD$平分$\angle ACB$，所以$\angle ACB = 2\angle ACD$。
又因为$\angle ACB = 2\angle ABC$，所以$\angle ACD=\angle ABC$。
因为$AE\perp BC$，所以$\angle AEB = 90^{\circ}$，则$\angle B+\angle BAE = 90^{\circ}$。
$\angle AFD=\angle CAE+\angle ACD$（三角形外角性质），$\angle ACD=\angle B$，$\angle CAE+\angle B = 90^{\circ}-\angle BAE+\angle B$，$\angle DAF=\angle BAC-\angle BAE$，$\angle BAC = 180^{\circ}-\angle B-\angle ACB=180^{\circ}-3\angle B$，$\angle DAF = 180^{\circ}-3\angle B-\angle BAE$，$\angle AFD=\angle B+\angle CAE$，$\angle CAE = 90^{\circ}-\angle ACB=90^{\circ}-2\angle B$，$\angle AFD=\angle B + 90^{\circ}-2\angle B=90^{\circ}-\angle B$，$\angle DAF=\angle BAC-\angle BAE=(180^{\circ}-3\angle B)- (90^{\circ}-\angle B)=90^{\circ}-2\angle B+\angle B=90^{\circ}-\angle B$。
所以$\angle DAF=\angle AFD$，根据等角对等边，可得$AD = DF$。
$(2)$ 猜测$\frac{AF}{EF}$的值
由前面的规律：当$\frac{DF}{FC}=\frac{2}{3}$时，$\frac{AF}{EF}=\frac{4}{3}=\frac{2×2}{3}$；当$\frac{DF}{FC}=\frac{5}{3}$时，$\frac{AF}{EF}=\frac{10}{3}=\frac{5×2}{3}$。
所以当$\frac{DF}{FC}=\frac{7}{4}$时，$\frac{AF}{EF}=\boldsymbol{\frac{14}{4}}$。
$(3)$ 求$\frac{AF}{EF}$的值（用含$k$的式子表达）
过点$D$作$DH\perp AE$于点$H$。
因为$\angle DAF=\angle AFD$，$DH\perp AF$，所以$AH = FH$（等腰三角形三线合一）。
因为$DH\perp AE$，$AE\perp BC$，所以$DH// BC$，则$\triangle DHF\sim\triangle CEF$。
所以$\frac{FH}{EF}=\frac{DF}{FC}=k$，设$FH = mk$，$EF = m$（$m\neq0$），则$AF = 2FH=2mk$。
所以$\frac{AF}{EF}=\boldsymbol{2k}$。
$(4)$ 求$\frac{DG}{AD}$的值
因为$\frac{DF}{FC}=3$，由$(3)$知$\frac{AF}{EF}=2×3 = 6$，设$EF = x$，则$AF = 6x$。
因为$AD = DF$（已证），$AG\perp CD$，所以$DG=\frac{1}{2}DF$（等腰三角形三线合一）。
$AD = DF$，设$DF = 3a$（因为$\frac{DF}{FC}=3$，设$FC = a$），$DG=\frac{3}{2}a$，$AD = 3a$。
所以$\frac{DG}{AD}=\frac{\frac{3}{2}a}{3a}=\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。
综上，答案依次为：$(1)$ 证明过程如上述；$(2)$$\boldsymbol{\frac{14}{4}}$；$(3)$$\boldsymbol{2k}$；$(4)$$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。